3.5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
Soit K une partie compacte incluse dans ]O; +oo[. Il existe (a ,b) E IR. 2 tel que :
O < a ~ l ~ b et KC[a,b].
Notons pour k E N,
Il est clair que, pour tout k de N,
deuxcas:t ~ l,t ~ 1.
1
ak F
1
'V(x,t) E Kx]O; +oo[,
axk (x,t) ~ <(JK,k(t).
ak F
Ainsi, pour tout k de N, axk vérifie l'hypothèse de domination locale sur ]0; +oo[ X ]0; +oo[.
Le résultat voulu découle de 3.5.2, Corollaire p. 196.
Résultat classique:
lo
+oo ' fi
e1
- dr = -
0
2 '
cf. par exemple exercice 3.5.4 c) p. 203.
r (~) = ft.
Preuve
'a Utilisation d'un changement de variable.
Exercices 3.5.22 à 3.5.29.
Étude de la fonction I', tracé de la courbe représentative
a) Montrer que r est convexe sur )0; +oo[.
,
l
b) Etablir: f(x)
~
-. Quelle est la limite der en o+ ?
x ____. o+ x
c) Dresser le tableau de variations der et montrer: f(x) -----+ +oo.
X ~ +oo
d) Tracer l'allure de la courbe représentative de r.
Solution
a) D'après le Cours, r est de classe C
2 sur )0; +oo[ et :
V x E ]0 ; +oo[, f "(x) = 1+oo (ln t) 2 tx - le - i dt > 0,
donc r est convexe sur ]O; +oo[.
b) On a:
rcx + 1)
'Vx E]O; +oo[, f(x) =
.
X
Comme r est continue sur ]O ; +oo[, r est en particulier continue en 1, donc
1
f(x + l)
X ----> Q+
f(l) = O! = 1. Il en résulte: f(x)
et il s'ensuit :
f(x )
X ----> Q+
+oo.
c) Puisque f " > 0, f ' est strictement croissante sur ]O; +oo[.
Comme f(l) = O! = 1 et f (2) = l! = 1, que r est continue sur [l ; 2] et dérivable sur )1 ; 2[, d'après le théorème de Rolle, il existe a E ]1 ; 2[ tel que
f '(a) =O.
Conseils
Conséquence du théorème de dérivation
sous le signe f avec HDL.
La fonction sous l'intégrale est continue,
~ 0 et n'est pas la fonction nulle, donc l'intégrale est > O.
Cf.§ 3.5.3 Prop. 2 7 ).
Utilisation du théorème de Rolle pour
l'existence de a.
•
J
•
201
Soit K une partie compacte incluse dans ]O; +oo[. Il existe (a ,b) E IR. 2 tel que :
O < a ~ l ~ b et KC[a,b].
Notons pour k E N,
Il est clair que, pour tout k de N,
deuxcas:t ~ l,t ~ 1.
1
ak F
1
'V(x,t) E Kx]O; +oo[,
axk (x,t) ~ <(JK,k(t).
ak F
Ainsi, pour tout k de N, axk vérifie l'hypothèse de domination locale sur ]0; +oo[ X ]0; +oo[.
Le résultat voulu découle de 3.5.2, Corollaire p. 196.
Résultat classique:
lo
+oo ' fi
e1
- dr = -
0
2 '
cf. par exemple exercice 3.5.4 c) p. 203.
r (~) = ft.
Preuve
'a Utilisation d'un changement de variable.
Exercices 3.5.22 à 3.5.29.
Étude de la fonction I', tracé de la courbe représentative
a) Montrer que r est convexe sur )0; +oo[.
,
l
b) Etablir: f(x)
~
-. Quelle est la limite der en o+ ?
x ____. o+ x
c) Dresser le tableau de variations der et montrer: f(x) -----+ +oo.
X ~ +oo
d) Tracer l'allure de la courbe représentative de r.
Solution
a) D'après le Cours, r est de classe C
2 sur )0; +oo[ et :
V x E ]0 ; +oo[, f "(x) = 1+oo (ln t) 2 tx - le - i dt > 0,
donc r est convexe sur ]O; +oo[.
b) On a:
rcx + 1)
'Vx E]O; +oo[, f(x) =
.
X
Comme r est continue sur ]O ; +oo[, r est en particulier continue en 1, donc
1
f(x + l)
X ----> Q+
f(l) = O! = 1. Il en résulte: f(x)
et il s'ensuit :
f(x )
X ----> Q+
+oo.
c) Puisque f " > 0, f ' est strictement croissante sur ]O; +oo[.
Comme f(l) = O! = 1 et f (2) = l! = 1, que r est continue sur [l ; 2] et dérivable sur )1 ; 2[, d'après le théorème de Rolle, il existe a E ]1 ; 2[ tel que
f '(a) =O.
Conseils
Conséquence du théorème de dérivation
sous le signe f avec HDL.
La fonction sous l'intégrale est continue,
~ 0 et n'est pas la fonction nulle, donc l'intégrale est > O.
Cf.§ 3.5.3 Prop. 2 7 ).
Utilisation du théorème de Rolle pour
l'existence de a.
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