Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
3.5.3
La fonction r prolonge la factorielle, au
décalage d'une unité près.
_J,\ On ne fait pas directement une
intégration par parties pour des intégrales
sur un intervalle quelconque.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- o.
0
u
200
l
L
1
la fonction r d'Euler
Pour tout x de ]0; +oo[, l'application t 1-------+ tx - l e- 1 est intégrable sur ]O; +oo[.
On appelle fonction r d'Euler l'application :
Preuve
Notons F: ]O; +oo[x]O; +oo[--+ JR. .
(x ,t)f---*tx-1 e-r
Pour x E]O; +oo[ fixé, l'application t t------7 tx- I e1 est continue sur ]O; +oo[, ;?: 0. De plus :
• F(x ,t) ~ tx- I et t t------7 t x-i est intégrable sur ]O; l] car x - 1 > - 1, donc F(x,·) est inté1-->o+
grable sur ]O; l]
• t 2 F(x ,t) = tx+
1
e _, - - - ? 0, donc F(x, ·) est intégrable sur [1 ; +oo[ .
,_. +oo
r oc
Ainsi, F(x, ·) est intégrable sur ]O; +oo[ donc r(x) = Jo
tx- I e _,dt existe.
•
1) "lx E]O; +oo[, r(x + 1) = xr(x) 2) "ln EN, r(n+l)=~
Preuve
1) Soit (s, T) E]O; 1] x [l; +oo[. On a, par une intégration par parties:
1T r'"e- t dt = [ - txe- 1 J: + 1T xtx- le- r dt = sxe-e -Txe- T +x 1 T tx - le- t dt .
On en déduit, en passant aux limites quand s tend vers 0 et T tend vers +oo :
r(x + J) = lo+oo txe- r dt = X lo+oo tx- l e-t dt = xr(x).
2) Récurrence sur n :
• r(l) = lo+oo e1 dt= [ - e- 1 ]~
00 = 1 = O!
•Si r (n + 1) = n ! , alors r(n + 2) = (n + l)r (n + 1) = (n + 1) · n ! = (n + 1) ! .
La fonction r est de classe C
00 sur ]0; +oo[ et :
'Vk EN, "lx E]O; +oo[, r (k)(x) = 1+
00
(1nt)kt x- te-t dt.
Preuve
Notons F : ]0; +oo[x ]O; +oo[--+ lR. .
(x ,t)f---*tx- 1 e- t =e(x - l )lnt e- 1
•
aF
akF
Il est clair que F, a.;, .. . , axk , ... existent, sont continues par rapport à la première variable (x) et sont
continues par morceaux par rapport à la deuxième variable (t) , et que :
ak F
V'k EN, V'(x,t) E]O; +oo[ x ]O; +oo[, - k (x ,t) =( ln t/tx- le -
1
•
ax