Solution
La courbe représentative C de f admet, en le point d'abscisse 0 , une demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées.
5) Étude en +oo
Soit x E [1 ; + oo [. On a :
lnx $'.'. ln(x +t) $'.'. ln(x+ l)
V t E JO ; lJ , 1 + t ""
1 + t
""
l + t
et donc, en intégrant sur [O ; lJ :
c'est-à-dire :
1
1 1
11 1
Jnx
-- dt ~f(x)~ ln(x+ l)
- - dt,
0 l+t
0 l+t
ln x ln2 ~ f(x) ~ ln (x + 1) ln2.
Comme ln (x + 1) = ln x + ln ( l + ~)
X ____. +oo
lnx ,
on déduit :f(x)
ln2 lnx.
X~ +oo
En particulier: f (x) -----+ +oo et f (x) -----+ 0, donc C admet une branche
x -----+ +oo
x x -----+ +oo
parabolique de direction asymptotique l'axe des abscisses, lorsque x -----+ + oo.
6) Tableau de variations
On consigne les résultats précédents dans le tableau de variations de f :
X
0
1
+OO
f'(x)
1
+ OO + -
+
2
+ OO
f(x)
- ~ ~
12
7) Concavité
La même méthode qu'en 3) montre que f est de classe C
2 sur JO ; +oo[ et que:
1
1 a2F
11 1
Vx E JO; +oo[, f"(x ) =
- 2 (x,t)dt =
-
2
dt < 0 ,
0 ax
0
(x + t ) (1 + t)
donc f est concave et C tourne sa concavité vers les y négatifs.
8) Tracé de la courbe représentative C de f
y
0
1t2
12
Y =f(x)
c
X
3 .5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
Conseils
Le but est d'obtenir un encadrement de
f (x) utilisable lorsque x ~ +oo.
Utilisation du théorème de dérivation sous
le signe 1·
199