-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
198
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Solution
Ceci montre que F vérifie HDL sur [0 ; +oo[x]O ; l].
D'après le théorème de continuité sous le signe [ , on conclut : f est continue sur
[O; +oo[.
3) Dérivabilité
• Pour tout x E [O; +oo[, F (x ,.) est intégrable sur ]O; l] , d'après 1 ).
• ~~ : (x,t) t------+ (x + t)\l + t) existe sur [0; +oo[x ]O ; 1], est continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t.
•Soit b E ]O ; +oo[. On a, pour tout (x ,t) E [b ; +oo[ x ]O; l] :
1
ôF
1
1
1
~(x,t) = (x + t)(l + t) ~ (b + t)(l + t) noté 1/Jb(t)
et · t/;b est continue par morceaux (car continue) sur ]0 ; 1], :;:::: 0 et intégrable sur
]O; 1] car îf;b (t) ----+ t·
I --+ 0
ôF
Ceci montre que - vérifie HDL sur ]O ; +oo[x]O; 1].
ôx
D'après le théorème de dérivation sous le signe [. f est de classe C
1 sur ]O ; +oo[ et :
1
1 ôF
11 1
VxE]O;+oo[, f ' (x)=
- (x ,t)dt=
·
dt.
0 ôx
0 (x + t)(l + t)
On va calculer cette intégrale en utifüant une décomposition en éléments simples.
•Cas x =!= 1
Il existe a ,b E lR tels que: (x + X)\1 +X) =X::.. X+ 1 ! x·
1
En multipliant par a +X puis en remplaçant X par -a, on obtient : a = - - .
1-x
1
En multipliant par l +X puis en remplaçant X par -1 , on obtient: b = - -.
x-1
D'où:
l
1
j '(x) = t ( 1 - X + X - 1) dt= _1 _ t (-1 - -_l _) dt
lo X + t 1 + t
1 - X lo X + t 1 + t
1 [
] 1
1
= - - ln(x +t)- ln(l +t) 0 = - - (ln(x+1) - ln2- lnx).
1-x
1-x
•Cas x = 1
On a:
On conclut:
Il en résulte :
t J
[
J JI
f '(l) = lo (1 + t) 2 dt = - 1 + t o 2
1
1
1 +x
- - ln - -
! ' (X) = 1 - X {X
si X E]O lf U ll +oof
si X= J.
V XE ]O ; +oo[, f'(x) > 0,
donc, comme de plus f est continue en 0, on conclut que f est strictement croissante sur [O ; +oo[.
4) Étude en 0
On a vu que f est continue en O. De plus :
/
l
} + x
f (x) = 1 _ x ln ~ x ~o+ +oo,
donc f n'est pas dérivable en O.
Conseils
Mais F ne vérifie pas HD sur
[O; +oo[x ]O; l] car,pourtoutt E ]O; l]
fixé, IF (x,t)I ~ +oo, donc IF(x,t)I ne
xl+oo
peut pas être majoré indépendamment
dex.
On garde la notation F de 2 ).
aF
, .
-
ne venfie pas HD sur [O; +oo[ x JO; 1],
ax
aF
1
car, pour x = 0 :- (0,.): t ~ - ( - -
ax
f 1 + 1)
n'est pas intégrable sur JO; !].
1/Jb admet une limite finie en O.
Dérivation sous le signe j.
Ëtude directe pour x = 1 .
.
1
1 +x
•Six > 1, alors-- < 0 e t - - < 1,
1 -x
2x
doncf'(x) > O.
.
1
• 51 0 < x < 1, alors - - > 0 et
1 -x
l +x
- - > 1, donc f'(x) > O.
2x
Théorème limite de la dérivée, dans le cas
d'une limite infinie.
0
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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Solution
Ceci montre que F vérifie HDL sur [0 ; +oo[x]O ; l].
D'après le théorème de continuité sous le signe [ , on conclut : f est continue sur
[O; +oo[.
3) Dérivabilité
• Pour tout x E [O; +oo[, F (x ,.) est intégrable sur ]O; l] , d'après 1 ).
• ~~ : (x,t) t------+ (x + t)\l + t) existe sur [0; +oo[x ]O ; 1], est continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t.
•Soit b E ]O ; +oo[. On a, pour tout (x ,t) E [b ; +oo[ x ]O; l] :
1
ôF
1
1
1
~(x,t) = (x + t)(l + t) ~ (b + t)(l + t) noté 1/Jb(t)
et · t/;b est continue par morceaux (car continue) sur ]0 ; 1], :;:::: 0 et intégrable sur
]O; 1] car îf;b (t) ----+ t·
I --+ 0
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Ceci montre que - vérifie HDL sur ]O ; +oo[x]O; 1].
ôx
D'après le théorème de dérivation sous le signe [. f est de classe C
1 sur ]O ; +oo[ et :
1
1 ôF
11 1
VxE]O;+oo[, f ' (x)=
- (x ,t)dt=
·
dt.
0 ôx
0 (x + t)(l + t)
On va calculer cette intégrale en utifüant une décomposition en éléments simples.
•Cas x =!= 1
Il existe a ,b E lR tels que: (x + X)\1 +X) =X::.. X+ 1 ! x·
1
En multipliant par a +X puis en remplaçant X par -a, on obtient : a = - - .
1-x
1
En multipliant par l +X puis en remplaçant X par -1 , on obtient: b = - -.
x-1
D'où:
l
1
j '(x) = t ( 1 - X + X - 1) dt= _1 _ t (-1 - -_l _) dt
lo X + t 1 + t
1 - X lo X + t 1 + t
1 [
] 1
1
= - - ln(x +t)- ln(l +t) 0 = - - (ln(x+1) - ln2- lnx).
1-x
1-x
•Cas x = 1
On a:
On conclut:
Il en résulte :
t J
[
J JI
f '(l) = lo (1 + t) 2 dt = - 1 + t o 2
1
1
1 +x
- - ln - -
! ' (X) = 1 - X {X
si X E]O lf U ll +oof
si X= J.
V XE ]O ; +oo[, f'(x) > 0,
donc, comme de plus f est continue en 0, on conclut que f est strictement croissante sur [O ; +oo[.
4) Étude en 0
On a vu que f est continue en O. De plus :
/
l
} + x
f (x) = 1 _ x ln ~ x ~o+ +oo,
donc f n'est pas dérivable en O.
Conseils
Mais F ne vérifie pas HD sur
[O; +oo[x ]O; l] car,pourtoutt E ]O; l]
fixé, IF (x,t)I ~ +oo, donc IF(x,t)I ne
xl+oo
peut pas être majoré indépendamment
dex.
On garde la notation F de 2 ).
aF
, .
-
ne venfie pas HD sur [O; +oo[ x JO; 1],
ax
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1
car, pour x = 0 :- (0,.): t ~ - ( - -
ax
f 1 + 1)
n'est pas intégrable sur JO; !].
1/Jb admet une limite finie en O.
Dérivation sous le signe j.
Ëtude directe pour x = 1 .
.
1
1 +x
•Six > 1, alors-- < 0 e t - - < 1,
1 -x
2x
doncf'(x) > O.
.
1
• 51 0 < x < 1, alors - - > 0 et
1 -x
l +x
- - > 1, donc f'(x) > O.
2x
Théorème limite de la dérivée, dans le cas
d'une limite infinie.