3.5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
1
. pour tout X E A, a F (x,.)' ... ' an F (x ' .) sont intégrables sur l
ax
axn
alors
•l'application f :
A ~ IK
est de classe en sur A et:
x ~ f 1 F(x,t) dt
.
(i)
-1 ai F
V l E {1,. . .,n}, V X E A , f (x) -
- . (x,t) dt.
I axi
Exercices 3.5.1 à 3.5.7,3.5.9 à 3.5.21.
Exemple d'étude de fonction définie par une intégrale
Etude de fonction et tracé de courbe représentative pour :
1
1 ln(x +t)
f(x) =
0
- - - d t .
1 +t
7C2
Pour le tracé, on admettra: f (0) = -
12
:::: 0 ,82, cf. exercice 7.4.6 b).
Solution
1) Ensemble de définition de f
Conseils
ln (x + t)
•Six > 0 , l'application t f---+
est continue sur le segment [0 ; 1), donc Six > 0, f(x) est l'intégrale d'une fonction
1 + t
continue sur un segment.
f (x) existe.
• Si X = 0, l'applicati o n
ln t
t f---+ - -
1 + t
est continue sur ]O ; l] et
lnt
l+t 1--+0+
ln t < 0, donc, comme t f---+ ln t est intégrable sur ]O ; l] , par théoln t
rème d'équivalence pour des fonctions de signe fixe, t f---+ - - est intégrable sur
1 + t
]O ; l], donc f (x) existe.
S .
0 l' 1· .
ln (x + t) '
d 'fi .
. .
, d .
• 1 x < , app 1cat10n t f---+
n est pas e me sur un vmsrnage a ro11 + t
te de 0, donc f (x) n'existe pas.
On conclut: Déf (f) = [0 ; +oo[.
2) Continuité
ln(x+t)
Notons F: [O; +oo[x )O ; l] ---+ IR, (x,t) f---+ F(x,t) =
.
1 + t
• F est continue par rapport à x et continue par morceaux (car continue) par rapport à t.
• Soit a E [0 ; +oo[. On a, pour tout (x, t) E [O ; a) x ]O ; 1] :
l ln (x+t)I
1
IF(x,t)I =
~ -
Max (l ln t l, l ln (a+ t)I)
l+t
l+t
l lnt l+l ln (a+t)I
,
~
, note 1 + t
L'application 'Pa est continue par morceaux (car continue) sur ]0 ; l] , ~ 0 et
'Pa(t)
~
- lnt. Commet f---+ - lnt est intégrable sur ]O; 1], d'après le
1 ---+ o+
théorème d'équivalence pour des fonctions ~ 0, 'Pa est intégrable sur ]0 ; 1 ].
Six = 0, f (x) est l'intégrale d'une fonction
intégrable sur JO; 1].
ln(x + t)
Si x < 0, t ~
n'est pas continue
1 +t
par morceaux sur JO; IJ , donc l'intégrale
envisagée n'existe pas.
On va essayer d'appliquer le théorème de
continuité sous le signe J.
Les signes de ln t et de ln(a + t) ne sont
pas connus.
lln t 1 = - ln t --)- +oo,
1-+0+
lln(a + t)I --)- lln al. 1 + t --)- 1.
1 .... 0+
1 .... 0+
197