-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
196
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
On a : x ~ a et cos t ~ - 1 , donc :
X+ COS f ~ a - f > Ü.
L'obtention de la constante C n'est pas
ici immédiate, car on ne peut remplacer
x par aucune valeur particulièrement
simple. L'idée est ici de faire tendre x vers
1
+oo, en introduisant y= - et en
X
appliquant le théorème de continuité
(en 0) sous le signe la" pour une
nouvelle fonction.
rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HDL sur
]l ; +oo[x[O; rr] car, pour tout (a,h) E ]1; +00[2 tel que a::;:; h, on a:
V (x,t) E [a; h] X [O ; JT] , - (x,t) =
::;:; - -
1
BF
1
1
1
ax
x+cost
a-1
1
et l'application constante - - est intégrable sur le segment [0; rr].
a-1
D'après le théorème de dérivation sous le signe 1", l'application f :] 1 ; +oo[ -----+ IR définie par:
VxE]l;+oo[, f(x)= 1" ln(x +cost) dt
est de classe C
1 sur]l ;+oo[et :
Tix E]l; +oo[, J'(x) =
- (x,t)dt =
dt.
1 " BF 1" 1
O Bx
o X+ COSt
t
Le changement de variable u = tan 2: (qui introduit une intégrale sur [O; +oo[) donne :
+oo
du
2
X - 1
[
)]
+oo
f'(x) = 2
=
Arctan
- - u
1 (x + 1) + (x - l)u 2 Jx2=l' @i
0
= - - -
Jx2=1''
Il existe donc CE IR tel que: Vx E]l; +oo[, f(x) = rr ln(x + Jx2=1') + C.
D'autre part:
Vx E]l; +oo[, f(x) = JT ln X+ 1" ln (1 + ~ cos r) dt.
L'application G : [O; 1 [ x [O; JT] -----+ IR est continue par rapport à y, continuue par morceaux
(y, l )~ ln( l+y cos 1)
(car continue) par rapport à t, et vérifie HDL sur [O; 1 [ x [O; JT] car, pour tout a E [O; 1 [ :
V (y,t) E [O; a] x [O; rr] , l ln (1 +y cos t)I ::;:; - ln (1 - a),
et l'application constante t f---+ - ln (1 - a) est intégrable sur le segment [O; JT], donc,
d'après le théorème de continuité sous le signe f avec HDL, l'application g : [0; l[----+ IR
définie par 'v'y E [O; 1 [, g(y) = 1" G(y,t) dt est continue.
En particulier: lim g(y) = g(O) = 0.
y -->O+
On a donc:
f(x)-nlnx= 1rr 1n(1+~cosr) dt ~ O.
Mais:
X+ Jx2=1'
f(x)-rrlnx=rrln
+c~rrln2+C.
X
x-->+oo
On déduit C = -JT ln 2, et finalement :
1
1T
X + Jx2=1'
'v'x E]l; +oo[,
ln(x +cost) dt= JT ln
.
0
2
Soit n EN*.
• pour tout x E A, F (x, ·) est intégrable sur I
âF
anp
• F, - , .. ., - - existent, sont continues par rapport à x
âx
axn
et sont continues par morceaux par à rapport t
Si
âF
anp
• - , .. ., - - vérifient HDL sur A x l,
âx
âxn
0
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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
On a : x ~ a et cos t ~ - 1 , donc :
X+ COS f ~ a - f > Ü.
L'obtention de la constante C n'est pas
ici immédiate, car on ne peut remplacer
x par aucune valeur particulièrement
simple. L'idée est ici de faire tendre x vers
1
+oo, en introduisant y= - et en
X
appliquant le théorème de continuité
(en 0) sous le signe la" pour une
nouvelle fonction.
rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HDL sur
]l ; +oo[x[O; rr] car, pour tout (a,h) E ]1; +00[2 tel que a::;:; h, on a:
V (x,t) E [a; h] X [O ; JT] , - (x,t) =
::;:; - -
1
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1
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x+cost
a-1
1
et l'application constante - - est intégrable sur le segment [0; rr].
a-1
D'après le théorème de dérivation sous le signe 1", l'application f :] 1 ; +oo[ -----+ IR définie par:
VxE]l;+oo[, f(x)= 1" ln(x +cost) dt
est de classe C
1 sur]l ;+oo[et :
Tix E]l; +oo[, J'(x) =
- (x,t)dt =
dt.
1 " BF 1" 1
O Bx
o X+ COSt
t
Le changement de variable u = tan 2: (qui introduit une intégrale sur [O; +oo[) donne :
+oo
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2
X - 1
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+oo
f'(x) = 2
=
Arctan
- - u
1 (x + 1) + (x - l)u 2 Jx2=l' @i
0
= - - -
Jx2=1''
Il existe donc CE IR tel que: Vx E]l; +oo[, f(x) = rr ln(x + Jx2=1') + C.
D'autre part:
Vx E]l; +oo[, f(x) = JT ln X+ 1" ln (1 + ~ cos r) dt.
L'application G : [O; 1 [ x [O; JT] -----+ IR est continue par rapport à y, continuue par morceaux
(y, l )~ ln( l+y cos 1)
(car continue) par rapport à t, et vérifie HDL sur [O; 1 [ x [O; JT] car, pour tout a E [O; 1 [ :
V (y,t) E [O; a] x [O; rr] , l ln (1 +y cos t)I ::;:; - ln (1 - a),
et l'application constante t f---+ - ln (1 - a) est intégrable sur le segment [O; JT], donc,
d'après le théorème de continuité sous le signe f avec HDL, l'application g : [0; l[----+ IR
définie par 'v'y E [O; 1 [, g(y) = 1" G(y,t) dt est continue.
En particulier: lim g(y) = g(O) = 0.
y -->O+
On a donc:
f(x)-nlnx= 1rr 1n(1+~cosr) dt ~ O.
Mais:
X+ Jx2=1'
f(x)-rrlnx=rrln
+c~rrln2+C.
X
x-->+oo
On déduit C = -JT ln 2, et finalement :
1
1T
X + Jx2=1'
'v'x E]l; +oo[,
ln(x +cost) dt= JT ln
.
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Soit n EN*.
• pour tout x E A, F (x, ·) est intégrable sur I
âF
anp
• F, - , .. ., - - existent, sont continues par rapport à x
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et sont continues par morceaux par à rapport t
Si
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• - , .. ., - - vérifient HDL sur A x l,
âx
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