Exemple de détermination de la nature d'une intégrale impropre
1
--.+oo ( sin x
)
Déterminer la nature de l'intégrale impropre -.a
e ./i - 1 dx.
Solution
sinx
Notons f :]0 ; +oo[-----+ IR, x t----+ f (x) = e ./i - 1.
L'application f est continue sur ]O; +oo[.
Étude en +oo
sinx
Comme ~ -----+ 0, on peut effectuer un développement asymptotique :
.yX x ---> +oo
sin x
1 sin
2 x
( sin
2 x)
f(x) = - - + - - - +a - - .
Jx 2 X
X
1
--.+oo sinx
• Montrons que l'intégrale impropre
1
Jx dx converge.
On a, pour tout X E (1; +oo[, par intégration par parties:
l x sinx dx = [-1 (-cosx)]x -lx (- _ I_ )(-cosx)dx
J
Jx
Jx
J
1
2x3/2
- cos X
1 1 X cos X
=
f i + cos 1 - 2 • x S/2 dx.
D'une part:
cos X
- - -----+ 0
f i X---> +oo .
cosx
D'autre part, l'application g : x t----+ x 312 est continue sur [l ; + oo[ et :
1
V x E (1; +oo[, lg(x) I ~ x 312 .
3
D'après l'exemple de Riemann en +oo c 2
> 1) et le théorème de majoration pour
des fonctions ;?! 0 , g est intégrable sur [l ; +oo[.
Ceci montre :
l
x sinx
11+
00 cosx
- - dx -----+ cos 1 - -
- - dx
1
Jx x --> +oo
2 1
x 3/ 2
,
1
. . . . +oo sinx
donc l'intégrale impropre
1
Jx dx converge.
sinx
•Notons h : (1 ; +oo[ -----+ IR, x t----+ h(x) = f (x) - Jx .
On a vu plus haut :
1 sin
2 x
( sin
2 x)
1 sin
2 x
h(x) = - - - +o - -
-
2
- -
2 X
X
x --> +oo
X
3.4 ·Intégrales impropres
Conseils
Il y a deux problèmes : en 0 et en +oo.
Puisque sinx n'est pas de signe fixe au
voisinage de +oo, on peut conjecturer
que f (x ) n'est pas non plus de signe fixe
au voisinage de +oo. donc un équivalent
de f (x) ne suffirait pas. On s'oriente donc
vers la recherche d'un développement
asymptotique de f (x).
Rappel:
u2
e" = 1 +u + - + o(u
2 ) .
11 .... 0
2!
Même méthode que dans le Cours, p. 175.
L'utilisation d'un équivalent est pertinente,
puisque h est de signe fixe au voisinage
de +oo.
187