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186
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Intégrale impropre aux deux bornes.
Pour rester dans le cadre du programme,
nous n'envisagerons pas d'intégrale
« impropre en un point intermédiaire
entre les bornes ».
Exercices 3.4. 1 à 3.4.6.
1
Preuve
On a: VX E [a; b[, 1x f = 1 c f +lx f.
Donc X r----+ 1x f admet une limite finie quand X tend vers b si et seulement si X r----+ lx f en
admet une, et, si c'est le cas, on a, par passage à la limite quand X tend vers b :
1 b 1c l b
f=
f+
f.
a
a
c
•
2) Cas d'une intégrale impropre aux deux bornes
La Proposition précédente permet d'envisager la Définition suivante.
Soient (a ,b) E (IR U {-oo}) x (IR U { +oo}) tel que a < b,f E CM(]a; b[, IK).
1
-.b
On dit que l'intégrale impropre
f converge si et seulement s'il existe
->a
l
e
1->b
c E]a; b[ tel que les deux intégrales impropres
f et
f convergent.
->a
c
Si c'est le cas, l'élément 1c f +lb f de OC ne dépend pas du choix de c dans ]a; b[,
est appelé intégrale impropre de f sur ]a: b(, et noté [ f.
J
Preuve
j e 1-+b
•D'après la Prop. 2, s'il existe c E]a ; b[ tel que les intégrales impropres
f et
f convergent,
---+a
c
i
d
l -+b
alors, pour tout d de ]a; b[, les intégrales impropres
f et
f convergent.
-+a d
•Dans ce cas, on a, pour tout (c ,d) de ]a; b[ 2 :
On appelle nature d'une intégrale impropre l b f ou 1-+b f ou 1-+b f sa conver---+a
a
---+a
gence ou sa divergence.
Soient (a,b) E (IR U {-oo}) x (IR U {+oo}) tel que a< b,f E CM(]a; b[, IK). Si/
1
-+b
1b
est intégrable sur ]a; b[, alors
f converge et l'intégrale impropre
f est égale
-+a
a
à [
f.
J]a;b[
1 Preuve
j e 1-+b
Appliquer la Prop. 1 p. 174 aux intégrales
f et
f, pour c E]a; b[ quelconque.
-+a c
•