Exemple important. Réviser la preuve,
§ 3.2.3, Remarque, deuxième point,
page 175.
~ Ces deux points sont importants.
g
::J
0
(V)
......
0
N
@
.j,,,J
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On intègre ici par parties pour
augmenter le degré de x au
dénominateur, afin d'assurer une
intégrabilité.
Le«pointdebase » est ici la borned'enbas de l'intégrale, dans le cas d'une
intégrale impropre en la borne d'enhaut.
3.4 ·Intégrales impropres
Remarque: li se peut qu'une applicationf E CM([a; b[,OC) ne soit pas intégrable sur [a; b[,
mais que l'intégrale impropre 1__. b f converge. Par exemple, on a vu (cf. p. 175) que
f: [l; +oo[--+ lR n'est pas intégrable sur [l ; +oo[, et cependant l'intégrale impropre
x~sinx
X
1
__. +oo sin x
- - dx converge (cf.
1
X
p. 175), puisque l'a pplication F
[l ; +oo[--+ lR
x~ rx .filn....:!. dx
j 1
X
admet une limite finie en +oo .
. - -
~
Soient (a,b) E lR x (JR U{+oo}) tel que a
Définition analogue pour lb f.
~{l
Exemple:
1
__. +oo sin x
L 'intégrale impropre
- - dx est semi-convergente.
X
Remarques:
1) Soient (a,b) E lR x (JR U {+oo}) tel que a < b,f E CM([a; b[,OC). On dit que l'intégrale
1
__.b
1__.b
impropre a
f est absolument convergente si et seulement si a If 1 est convergente.
1
__.b
·L'intégrale impropre a
f est absolument convergente si et seulement si f est intégrable
sur [a; b[.
• L'intégrale impropre 1__. b f est semi-convergente si et seulement si : l'intégrale impropre
1--*b f est convergente et non absolument convergente.
2) Comme on l'a vu p. 175, une intégration par parties permet souvent de remplacer l'étude
d'une intégrale impropre semi-convergente par celle d'une intégrale de fonction intégrable.
l
xsinx
cosX
l xcosx
Par exemple: VX E [1; +oo[ ,
- - dx = - - - +cos 1 -
- - dx,
1
x
X
1
x 2
d'où, chaque terme ayant une limite finie en +oo :
1
+
00 sinx
l +oo cosx
- - dx = cos 1 -
- 2 - dx '
1
X
1
X
1
__. +oo sinx
1__. +oo cosx
où l'intégrale
- - dx est semi-convergente et
- 2
- dx absolument
1
X
1
X
convergente.
Changement de point de base
Soient (a,b) E lR x (JR U {+oo}) tel que a < b, c E [a; b[,f E CM([a; b[, JK).
1) 1-"b f converge si et seulement si 1-"b f converge.
2) Dans ce cas, on a alors: 1b f = 1c f + 1b f.
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§ 3.2.3, Remarque, deuxième point,
page 175.
~ Ces deux points sont importants.
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.j,,,J
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On intègre ici par parties pour
augmenter le degré de x au
dénominateur, afin d'assurer une
intégrabilité.
Le«pointdebase » est ici la borned'enbas de l'intégrale, dans le cas d'une
intégrale impropre en la borne d'enhaut.
3.4 ·Intégrales impropres
Remarque: li se peut qu'une applicationf E CM([a; b[,OC) ne soit pas intégrable sur [a; b[,
mais que l'intégrale impropre 1__. b f converge. Par exemple, on a vu (cf. p. 175) que
f: [l; +oo[--+ lR n'est pas intégrable sur [l ; +oo[, et cependant l'intégrale impropre
x~sinx
X
1
__. +oo sin x
- - dx converge (cf.
1
X
p. 175), puisque l'a pplication F
[l ; +oo[--+ lR
x~ rx .filn....:!. dx
j 1
X
admet une limite finie en +oo .
. - -
~
Soient (a,b) E lR x (JR U{+oo}) tel que a
Définition analogue pour lb f.
~{l
Exemple:
1
__. +oo sin x
L 'intégrale impropre
- - dx est semi-convergente.
X
Remarques:
1) Soient (a,b) E lR x (JR U {+oo}) tel que a < b,f E CM([a; b[,OC). On dit que l'intégrale
1
__.b
1__.b
impropre a
f est absolument convergente si et seulement si a If 1 est convergente.
1
__.b
·L'intégrale impropre a
f est absolument convergente si et seulement si f est intégrable
sur [a; b[.
• L'intégrale impropre 1__. b f est semi-convergente si et seulement si : l'intégrale impropre
1--*b f est convergente et non absolument convergente.
2) Comme on l'a vu p. 175, une intégration par parties permet souvent de remplacer l'étude
d'une intégrale impropre semi-convergente par celle d'une intégrale de fonction intégrable.
l
xsinx
cosX
l xcosx
Par exemple: VX E [1; +oo[ ,
- - dx = - - - +cos 1 -
- - dx,
1
x
X
1
x 2
d'où, chaque terme ayant une limite finie en +oo :
1
+
00 sinx
l +oo cosx
- - dx = cos 1 -
- 2 - dx '
1
X
1
X
1
__. +oo sinx
1__. +oo cosx
où l'intégrale
- - dx est semi-convergente et
- 2
- dx absolument
1
X
1
X
convergente.
Changement de point de base
Soient (a,b) E lR x (JR U {+oo}) tel que a < b, c E [a; b[,f E CM([a; b[, JK).
1) 1-"b f converge si et seulement si 1-"b f converge.
2) Dans ce cas, on a alors: 1b f = 1c f + 1b f.
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