Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Intégration des relations de comparaison
• Pour obtenir des comparaisons (o , 0. ' """' ) sur des intégrales partielles ou sur des restes, on peut essayer d ' utiliser les théorèmes d'intégration des relations de comparaison (ex. 3.3.1à3.3.3). Avec les notations des théorèmes
du § 3.3, ne pas oublier de vérifier que la fonction g est à valeurs réelles ;:?: O.
Exercices
3.3.1 Montrer :
!
X
thf
--;:::=== dt
lnx.
Jt(t + 1) x->+oo
3.3.3
Soit f E CM([O; +oo[, JK). Montrer que, si f
admet une limite finie e en +oo , alors:
1.
+oo
dt
~
_
A
t 2 + e- 1 x-> +oo x ·
-- 3.3.2 Montrer :
1 lx
-
j(t) dt -----"* e.
X
o
x->+oo
3.4 Intégrales impropres
On a ainsi:
-oo 1) Cas d'une intégrale impropre à une borne
Soient (a,b) ElRx (JR U{+oo}) tel que a< b ,f ECM( [a; b[, IK). On dit que l'inté\ { \ Le lecteur pourra rencontrer la notation
\._;..-> 1b f au lieu de 1-->b f.
r~h
r~"
grale impropre la f (ou : la f (x ) dx) converge si et seulement si l'application F : [a; b[---+ IK admet une limite finie en b ; lorsque c'est le cas, cette limite
1
x~J,:1
:J
-0
0
c
::J
0
(V)
.....
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
184
Ainsi, l'intégrabilité entraîne la
convergence de l'intégrale impropre.
est notée improprement 1b f (ou : lb f (x) dx) et appelée intégrale impropre de f
l sur [a; b[ .
De même, si -oo ::::; a < b < +oo et f E CM(]a; b],JK) , on dit que l'intégrale impropre
l
b f (ou: f" j(x ) dx) converge si et seulement si l'application F: ]a; b] --+ lK admet une
~a
· a
XI-* j~ f
limite finie en a ; lorsque c'est le cas, cette limite est notée improprement {b f (ou :
la
lb f (x) dx) et appelée intégrale impropre de f sur ]a ; b 1 .
Avec ce vocabulaire, la Prop. 1 de 3.2.3 p. 173 se traduit par la Proposition suivante .
Soient (a,b) E lR x (JR U {+oo}) tel que a < b,f E CM(J,IK).
l
r~b
Sifest intégrable sur [a; b[, alors l'intégrale impropre la f converge, et l'intégrale impropre [b f est égale à [ f.
la
l[a;b[