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3.3.2
Dans le cas de fonctions non intégrables,
ce sont les « intégrales partielles »
r rx
la f, la g qui interviennent.
Si une fonction est croissante sur [a; b[
et n'a pas de limite finie enb,alorscette
fonction tend vers +oo en b.
O
Exercices 3.3.1, 3.3.3.
@
3.3 ·Supplément: intégration des relations de comparaison
Cas des fonctions non intégrables
Soient/ E CM([a; b[,JK), g E CM([a; b[, JR).
{
g ~ O
Si g n'est pas intégrable sur [a ; b[ , alors
f = o(g)
l
b
Preuve
l x
(lx )
f = 0
g
a x-+b a
Soit e > O. Puisque l = o(g), il existe X E [a; b[ tel que:
b
Vt E [X; b[, ll(t)I ~ sg(t).
Soit x E [X; b[ ; on a :
llx li ~ lx Ill+ fxx Ill~ lx Ill+ s fxx g =lx (Ill - sg) + E: l x g.
e g n'est pas
Puisque g ~ 0, l'application x f---+ lx g est croissante sur [a; b[. Comme g ~ 0 et qu
intégrable sur [a; b[, d'après 3.1.3 1) Prop. 1 p. 158, x f---+ lx g n'a pas de limite
finie en b. Il en résulte:
r g ~ +OO.
la X--'>b
Comme [X (Ill - sg) est fixé indépendamment de X et que r g ~ +OO
la
la x--.b
, il existe
1
x
1
x
X 1 E [X; b[ tel que : Vx E [X1; b[,
(Ill -sg) ~ s
g.
a
a
g).
•
Soient/ E CM([a; b[,JK), g E CM([a; b[, JR).
{
g ~ O
Si g n'est pas intégrable sur [a; b[
L
f=~(g)
, alors
1 x (lx )
f = 0
g
a x-+b a
Preuve
Même méthode que ci-dessus .
•
Soientf,g E CM([a; b[, JR) .
{
g~O
Si g n'est pas intégrable sur [a ; b[
l
-- f;g
, alors
1 x 1x
f ~
g
a x-+b a
Preuve
l ~ g {:==} l - g = o(g) = } r (f - g) = 0 ( rx g) {:==} r l ~ r g.
b
b
la
x->b la
la x--'>b la
•
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