Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
3.3 Supplément : intégration des relations
de comparaison
On a ainsi :
-oo ~ a < b ~ + oo.
3.3.1
A Dans le cas de fonctions intégrables, ce
lJJ sont les « restes d'intégrales »
l b f.1b g qui interviennent.
X
X
'J Cf. 3.2.3 Prop.4 p. 176.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Dans ce§ 3.3, (a,b) E IR x (IR U {+oo}) est tel que a < b
Cas des fonctions intégrables
Soient! E CM([a; b[,JK), g E CM([a; b[, JR).
{
g ~ O
Si g est intégrable sur [a; b[
f = o(g)
b
Preuve
On sait déjà que f est intégrable sur [a; b[.
Soit s > O. Puisque f = o(g), il existe X E [a; b[ tel que:
b
\:/t E [X; b[, lf(t)I ~ sg(t) .
Alors, pour tout x de [X ; b[ :
ce qui montre :
Soient! E CM([a; b[,IK) , g E CM([a; b[, JR).
1
g ~ 0
{ f est intégrable sur [a; b[
Si g est intégrable sur [a ; b[ , alors lb (lb )
f = 0 (g)
f = 0
g .
b
X
X~b
X
Preuve
Même méthode que ci-dessus.
Soientf,g E CM([a; b[, JR).
{
g ~ O
Si g est intégrable sur [a; b[
f "' g
b
Preuve
{
f est intégrable sur [a; b[
, alors lb lb
f "'
g.
X
x~b X
D'après les hypothèses,f est intégrable sur [a; b[ (théorème d'équivalence, 3.1.3 3) Prop. 2 p. 161).
•
•
Exercice 3 .3 .2.
Puis : f ~ g {:::::::} f - g = o (g) =::::} [ b (f - g) = 0 ( fb g) {: : : : : : : } [b f ~ [b g. •
b
b
lx
x-->b l x
lx x-->b lx
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