3.2.10 Pour (a ,b ,c ,d ) E lR x lR x JR+ x JR+ ,
1
I a cosx + b sin x
calculer
dx .
0
ccosx+ dsin x
3.2 .11
Montre r, pour tout x de ] - 1; 1[, que
l(x) = -1x ln(l - t ) dt existe et :
0
t
l(x) + l ( x ~ 1
) = -~ (ln(l -x))2.
3.2.12 Pour n E N - (0, 1} , calculer
Min
( f +oo ~x_ k dx ) .
O~b,;211-2 lo x2
11
+ l
3.2 .13 Montrer :
a)
l
'i
cost
11+
00
du
---;::=== dt ~ -
Jx 4 + sin 4 t
x->o+ X o
N+î
b)
r dt
1 1+
00
du
}, Jx2 + t 3 x-->+oo x -3 o
v'u'3+î
:j· lim 1r r __ dx _ _
1100 0 l + sin 2 nx
2
d) lim
= h
---- 1r r sin x dx
1100 0 1 + cos 2 nx
e) lim X
e_
1
x dt =
~ dt.
•••• f +oo
f +oo - 1
x-->+oo
1
1
t
3.2.14 Soit l : [O; l] ---+ C continue.
1
1 1
lim X
2 l (t) dt .
x-->o+
x t
Déterminer
3.2.15
Etudier et représenter graphiquement les fo nctions suivantes (x : variable réelle) :
a) l(x) = r ~jl+t4 dt
] , t
f.
2x
dt
b) l(x) =
~·
X
Y f
3 + 1
3.2.16
On note C.C
2 ([0; + oo[,JR) l'ensemble des
l : [O; +oo[--+ lR continues et de carré intégrable sur
[O; +oo[ (cf. p. 169).
Soit l : [O; +oo[---+ lR de classe C
2 telle que l.f' ,f"
soient dans C.C
2 ([O; +oo[, JR) .
a) Vérifier
1 2 +1112 - 1'2 = (f + l' + J")2 - ((f + 1')2)1 .
1
+00
b) Démontrer
0
(f
2 + 1
112 - 1'
2
) ~ 0 et étudier Je cas
d'égalité.
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
3.2.17 Pour x E IR+ , on note
l(x) =l 'i
dt
Jcos 2 t + x 2 sin
2 t '
rr
l o
2
cost
J (x) =
dt .
0 J sin 2 t + x2cos2 t
a) Montrer: 'fr ElR+, l (x) =l 'i
dt
Jsin
2 t + x 2 cos 2 t
1
I 1 - cost
b) Etablir : / (x) - J (x)----+
- - - dt = ln 2.
x-->o+
0
sin t
c) Calculer J (x) pour x E]O; 1[.
d) Endéduire: l (x )=-ln x+2 ln 2+ o ( 1).
x -->o+
3.2.18
1
x J l + t 2
Déterminer lim
dt .
x-->o+ o Jt(x - t )
3.2.19 Soient l : lR+ ---+ lR continue de carré intégrable
sur [0; +oo[ et g : lR+ ---+ lR définie par :
Si X =/= Ü
Si X= Ü
a) Montrer que g est continue sur lR+ .
b ) Soit (a, b ) E JR
2 tel que 0 ~ a < b.
a) Montrer: lb g 2 = ag 2 (a) - bg 2 (b ) + 2 lb l g.
fJ) En déduire :
lb g2 ~ ag2(a) + 2 (lb g2 ) ! ( l +oo 12) ! , puis :
(lb g2 ) 4 ~ ( l+oo 12 ) 4 + ( ag2(a) + l +oo 1 2) 4.
c) Montrer que g
2 et l g sont intégrables sur [O; +oo[
et : l +oo g2 = 2 1 +00 l g .
3.2.20
Pour tout n E N, soit J, 1 : lR ---+ lR
l
définie par: Vx E JR, ln(x) = 1
+lx_ ni .
a) Etudier la suite Cf11)11 eN .
b) Calculer, pour tout n de N, /_:
00
(f 11 (x) )
2 dx.
c) Soit g : lR ---+ lR continue et de carré intégrable sur lR .
Montrer: f +oo ln(x)g(x) dx----+ O.
-OO
1100
181
1
I a cosx + b sin x
calculer
dx .
0
ccosx+ dsin x
3.2 .11
Montre r, pour tout x de ] - 1; 1[, que
l(x) = -1x ln(l - t ) dt existe et :
0
t
l(x) + l ( x ~ 1
) = -~ (ln(l -x))2.
3.2.12 Pour n E N - (0, 1} , calculer
Min
( f +oo ~x_ k dx ) .
O~b,;211-2 lo x2
11
+ l
3.2 .13 Montrer :
a)
l
'i
cost
11+
00
du
---;::=== dt ~ -
Jx 4 + sin 4 t
x->o+ X o
N+î
b)
r dt
1 1+
00
du
}, Jx2 + t 3 x-->+oo x -3 o
v'u'3+î
:j· lim 1r r __ dx _ _
1100 0 l + sin 2 nx
2
d) lim
= h
---- 1r r sin x dx
1100 0 1 + cos 2 nx
e) lim X
e_
1
x dt =
~ dt.
•••• f +oo
f +oo - 1
x-->+oo
1
1
t
3.2.14 Soit l : [O; l] ---+ C continue.
1
1 1
lim X
2 l (t) dt .
x-->o+
x t
Déterminer
3.2.15
Etudier et représenter graphiquement les fo nctions suivantes (x : variable réelle) :
a) l(x) = r ~jl+t4 dt
] , t
f.
2x
dt
b) l(x) =
~·
X
Y f
3 + 1
3.2.16
On note C.C
2 ([0; + oo[,JR) l'ensemble des
l : [O; +oo[--+ lR continues et de carré intégrable sur
[O; +oo[ (cf. p. 169).
Soit l : [O; +oo[---+ lR de classe C
2 telle que l.f' ,f"
soient dans C.C
2 ([O; +oo[, JR) .
a) Vérifier
1 2 +1112 - 1'2 = (f + l' + J")2 - ((f + 1')2)1 .
1
+00
b) Démontrer
0
(f
2 + 1
112 - 1'
2
) ~ 0 et étudier Je cas
d'égalité.
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
3.2.17 Pour x E IR+ , on note
l(x) =l 'i
dt
Jcos 2 t + x 2 sin
2 t '
rr
l o
2
cost
J (x) =
dt .
0 J sin 2 t + x2cos2 t
a) Montrer: 'fr ElR+, l (x) =l 'i
dt
Jsin
2 t + x 2 cos 2 t
1
I 1 - cost
b) Etablir : / (x) - J (x)----+
- - - dt = ln 2.
x-->o+
0
sin t
c) Calculer J (x) pour x E]O; 1[.
d) Endéduire: l (x )=-ln x+2 ln 2+ o ( 1).
x -->o+
3.2.18
1
x J l + t 2
Déterminer lim
dt .
x-->o+ o Jt(x - t )
3.2.19 Soient l : lR+ ---+ lR continue de carré intégrable
sur [0; +oo[ et g : lR+ ---+ lR définie par :
Si X =/= Ü
Si X= Ü
a) Montrer que g est continue sur lR+ .
b ) Soit (a, b ) E JR
2 tel que 0 ~ a < b.
a) Montrer: lb g 2 = ag 2 (a) - bg 2 (b ) + 2 lb l g.
fJ) En déduire :
lb g2 ~ ag2(a) + 2 (lb g2 ) ! ( l +oo 12) ! , puis :
(lb g2 ) 4 ~ ( l+oo 12 ) 4 + ( ag2(a) + l +oo 1 2) 4.
c) Montrer que g
2 et l g sont intégrables sur [O; +oo[
et : l +oo g2 = 2 1 +00 l g .
3.2.20
Pour tout n E N, soit J, 1 : lR ---+ lR
l
définie par: Vx E JR, ln(x) = 1
+lx_ ni .
a) Etudier la suite Cf11)11 eN .
b) Calculer, pour tout n de N, /_:
00
(f 11 (x) )
2 dx.
c) Soit g : lR ---+ lR continue et de carré intégrable sur lR .
Montrer: f +oo ln(x)g(x) dx----+ O.
-OO
1100
181