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0
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0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- o.
0
u
188
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Solutio"
Par linéarisation :
sin
2 x
1 1 - cos 2x
1
cos2x
- - - - -
X
2
X
2x
2x
Comme plus haut (par utilisation d'une intégration par parties), l'intégrale impropre
1
--"+oo cos2x
- - dx converge.
1
2x
On a, pour X ;?! 1 :
- - dx =
- - - - dx = - ln X -
- - dx
l x sin
2 x
lx ( 1 cos2x) 1 lx cos2x
1
X
1
h
h
2
1
h
-----+ +oo.
X---+ +oo
sin
2 x
Ceci montre que x t----+ - - n'est pas intégrable sur [l ; +oo[. Par théorème
X
d'équivalence pour des fonctions ;?! 0, il en résulte que h n'est pas intégrable sur
[l ; +oo[, et donc, puisque h ;?! 0 , l'intégrale impropre 1 -.+oo h(x) dx diverge.
1
--' >+oo
1 -.+oo
Comme f = g + h, que
1
g converge et que
1
h diverge, on conclut :
1
-->+oo ( sinx )
r-->+oo ( sin x )
1
e ,fi - 1 dx diverge, et donc J __.o e ,fi - 1 dx diverge.
Intégrales impropres
• Rappelons que :
Co"seils
f
X cos2x
f +oo cos2x
- - dx --+
- - dx,
1
2x
X--' >+oo 1 2x
limite finie.
convergente+ divergente = divergente
- si par exemple,/ :]O; +oo[----+ C est continue par morceaux, l' intégrale impropre 1--++oo f (x)d.x converge si
--+O
•
et seulement si les deux intégrales impropres 1
1
f(x)d.x et r--++oo f(x)d.x convergent toutes les deux.
--+0
11
- si par exemple,! :] 1; +oo[-----+ C est continue par morceaux, l'intégrale impropre f --++oo f (x )dx converge si
et seulement si l'intégrale lx f (x)dx admet une limite finie lorsque X -----+ +oo.
{-+b
Pour étudier la nature d ' une intégrale impropre J a f (x )dx, commencer par s'assurer que f est continue par
morceaux sur [a; b[ .
Si/ est à valeurs réelles de signe fixe au voisinage de b, la convergence de 1-+b f (x)dx équivaut à l' intégrabilité de f sur [a; b[, et on est ramené à la rubrique« Les méthodes à retenir » p. 179.
Si/ n'est pas réelle de signe fixe au voisinage de b, on essaiera de :
- voir si, par chance,jest intégrable sur [a ; b[ (ex. 3.4.1 c))
f
-+ +oo sinx
f -+ +oo cosx
- se ramener à l'exemple du cours,
- -dx ou
- -dx, a E]O; 1), en utilisant un changement
1
xa
1
xa
de variable (ex. 3.4.le)) ou un développement asymptotique (ex. 3.4.1 a), d), 3.4.3)
f
-++oo sinx
- utiliser une intégration par parties, comme dans l'exemple
--dx du cours (ex. 3.4.1 a), 3.4.3, 3.4.5)
1
xa
- de faire intervenir une série (voir plus loin, ch. 4).
0
c
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188
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Solutio"
Par linéarisation :
sin
2 x
1 1 - cos 2x
1
cos2x
- - - - -
X
2
X
2x
2x
Comme plus haut (par utilisation d'une intégration par parties), l'intégrale impropre
1
--"+oo cos2x
- - dx converge.
1
2x
On a, pour X ;?! 1 :
- - dx =
- - - - dx = - ln X -
- - dx
l x sin
2 x
lx ( 1 cos2x) 1 lx cos2x
1
X
1
h
h
2
1
h
-----+ +oo.
X---+ +oo
sin
2 x
Ceci montre que x t----+ - - n'est pas intégrable sur [l ; +oo[. Par théorème
X
d'équivalence pour des fonctions ;?! 0, il en résulte que h n'est pas intégrable sur
[l ; +oo[, et donc, puisque h ;?! 0 , l'intégrale impropre 1 -.+oo h(x) dx diverge.
1
--' >+oo
1 -.+oo
Comme f = g + h, que
1
g converge et que
1
h diverge, on conclut :
1
-->+oo ( sinx )
r-->+oo ( sin x )
1
e ,fi - 1 dx diverge, et donc J __.o e ,fi - 1 dx diverge.
Intégrales impropres
• Rappelons que :
Co"seils
f
X cos2x
f +oo cos2x
- - dx --+
- - dx,
1
2x
X--' >+oo 1 2x
limite finie.
convergente+ divergente = divergente
- si par exemple,/ :]O; +oo[----+ C est continue par morceaux, l' intégrale impropre 1--++oo f (x)d.x converge si
--+O
•
et seulement si les deux intégrales impropres 1
1
f(x)d.x et r--++oo f(x)d.x convergent toutes les deux.
--+0
11
- si par exemple,! :] 1; +oo[-----+ C est continue par morceaux, l'intégrale impropre f --++oo f (x )dx converge si
et seulement si l'intégrale lx f (x)dx admet une limite finie lorsque X -----+ +oo.
{-+b
Pour étudier la nature d ' une intégrale impropre J a f (x )dx, commencer par s'assurer que f est continue par
morceaux sur [a; b[ .
Si/ est à valeurs réelles de signe fixe au voisinage de b, la convergence de 1-+b f (x)dx équivaut à l' intégrabilité de f sur [a; b[, et on est ramené à la rubrique« Les méthodes à retenir » p. 179.
Si/ n'est pas réelle de signe fixe au voisinage de b, on essaiera de :
- voir si, par chance,jest intégrable sur [a ; b[ (ex. 3.4.1 c))
f
-+ +oo sinx
f -+ +oo cosx
- se ramener à l'exemple du cours,
- -dx ou
- -dx, a E]O; 1), en utilisant un changement
1
xa
1
xa
de variable (ex. 3.4.le)) ou un développement asymptotique (ex. 3.4.1 a), d), 3.4.3)
f
-++oo sinx
- utiliser une intégration par parties, comme dans l'exemple
--dx du cours (ex. 3.4.1 a), 3.4.3, 3.4.5)
1
xa
- de faire intervenir une série (voir plus loin, ch. 4).