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0
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0
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......
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0
u
172
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Solution
1) Soitf E E.
Puisque f est de classe C
1 sur ]0 ; l] , on a , pour tout x E ]0 ; l] et tout e E ]0 ; x] :
f(x) = f(e) + [
1
f'(t) dt.
Comme f est continue en 0 et que f ' est intégrable sur ]O; l] , on déduit, pour tout
x E ]O ; l], en faisant te ndre e vers 0 :
J(x)=J(O)+ 1 x j '(t)dt= 1 x J'(t ) dt.
D'où, pour tout x E ]O ; l] :
IJ(x)I = l 1 x f ' (t) dtl ~ L' IJ'(t)I dt ~ 1
1
IJ'(t) I dt ,
puis, pour tout x E ]0 ; l] :
(!Cx))
2
= lf(x)l lf(x)I ~ lf(x)l 1
1
lf'(t)I dt.
D'où, en intégrant, pour des fonctions continues sur [0 ; l] :
Ainsi, la constante C = 1 convient pour l'inégalité demandée.
2) Considérons, pour a E ]O ; +oo [ :
fa: [O ; 1)---+ JR, X 1---+ fa(X) =Xa.
Il est clair que, pour tout a E ]O; +oo[ :
•fa est continue sur [O; 1], car a > 0
•fa est de classe C
1 sur ]O ; l] et: V x E ]0 ; l] , J;Cx) = axa1
• J; est intégrable sur ]O ; l] , d'après l'exemple de Riemann en 0 , car a - 1 > - 1
• !a(O) =O.
Ceci montre : V a E ]O ; +oo[, fa E E.
On calcule, pour tout a E,10; +oo[ :
D'où:
1 1 11
1
! 2 =
x2adx = - - ,
o
o
2a+l
1 1 11
1
l!al = x
0 dx = - - ,
o
o
a+ 1
1
2a + 1
1
- - ·1
a+l
a+l ----+ 1.
2a+la->O+
On conclut que C = 1 est la plus petite constante > 0 convenant.
Conseils
On essaie d'obtenir une constante C vérifiant l'inégalité demandée.
Formule fondamentale de !'Analyse, permettant d'exprimer f (x) à l'aide d'une
intégrale.
x E 10 1] est fixé, E tend vers O.
On garde un des deux facteurs lf(x)I.
fo 1 If' (t)I dt est une constante.
On va montrer qu'il existe des
f E E - {O} telles que
r1
Jo
12
1
° 1 soit aussi près de 1
(fo 111)(fo 11' 1)
que l'on veut.
Le résultat de l'exercice revient à :
l !2
Sup
1
1
= 1.
fEE-(O) (fo 111) (fo 1t1)