] )(
[
a
c
b
On a ainsi : -oo ::( a < +oo et
-OO< b ::( +oo
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
Tl existe une suite croissante U n )n EW de segments dont la réunion est égale à!, telle que:
Vn E N*, a E l n.
Alors : Vn E N*,
[ f = 1 f + [ f ,
J J,,
1- oo:aJn J,,
J J,,n[a: + oof
et L. f ~ 1 f, l - oo; aJn J,, f ~ L f' L .nca ;+ ooc f ~ f, , f
(car(] - oo; a] n l n )n EN* est une suite croissante de segments dont la réunion est égale à!', et de même
pour ! "), d'où : 1 f = 1 f + 1 f.
f
! '
! "
Par exemple, si a < c < b , pour que f soit intégrable sur ] a ; b[, il faut et il suffit que f soit intégrable sur ]a; c ] et sur [c; b[, et on a alors :
[ != [ !+f f.
~a; b[
~a:~
~;b[
Remarque : Soit f E CM(l, JK ). Si f est intégrable sur/, alors, pour tout intervalle I ' tel que
I ' c /,on a:
1
f = j xr·f,
f '
f
{
1 si x E /
1
où xr• est la fonction caractéristique de ! ' , xr• : I ----+ OC, x r----+
.
, .
Ü SI X~ f
Sif E CM(I, IK) est intégrable sur let si (a,b) E (lR U {-oo}) x (IR U { +oo}) esttel
que l'intervalle ouvert joignant a et b est inclus dans l , on note 1b f = - la f.
~ Formule importante.
Relation de Chasles
Si f E CM(J,IK) est intégrable sur I , alors, pour tout (a,b ,c) de (Ï~)
3 tel que les
intervalles ouverts joignant a et b, a et c, b et c, soient inclus dans l :
'
Dans cette formule, les éléments a, b, c
ne sont pas nécessairement en ordre
croissant.
Exercices 3.2.3 à 3.2.S.
Preuve
Séparer en cas suivant la position relative de a,b,c, et appliquer la Prop. 9 p. 170.
Une inégalité portant sur des intégrales
j
•
On note E l'ensemble des applications f : [O ; 1] ----+ IR continues sur [O ; 1], de classe C
1 sur ]O ; l], te lles que f' soit intégrable
sur JO ; l] et que f (0) =O.
D éte rminer le plus petit réel C > 0 te l que :
171