Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
1
"') \
Revoir la définition d'un produit scalaire
\j..) (réel ou complexe) d. § 1.6. l , Déf. 1.
Autrement dit: (j;, ) 11 eN converge en
moyenne quadratique vers f si et
seulement si:
1
lf n - f 1
2 ----+ O.
l
noo
'JJ Cf. 1.6.2 Pro p. 4 p. 82.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
170
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout (f,g) de ( C.C
2 (l,OC))
2
, f gest intégrable sur ! , donc
l'application cp : (f,g) ~ (f ig) = l f g est correctement définie de ( C.C
2 (l,OC) r dans OC.
On a, pour tout a de OC et toutes f, g, h de C .C
2 ( l, OC) :
•
=a f 7 g + f 7h = acp(f,g) + cp(f,h)
• cp(f, f) = f 111
2 ?: 0
• cp(f,f) = 0 {=::} f 1 11
2 = 0 {=::} f = 0, puisque f est continue sur l.
Ceci montre que 2 (l,OC).
•
Soient Cfn)n EN une suite dans C.C
2 (!, IK) ,f E C.C
2 (!, IK).
On dit que Cfn)n EN converge en moyenne quadratique vers f si et seulement si
~n)n EN converge vers/pour la norme N2.
Remarques:
1) On a,pourtoutesf,g deC.C
2 (/ ,0C):
l(f lg) I =I l f g l ~ j If g l = j lfg l =Ni (fg) ~ N 2(f)N2(g).
2) L'application produit scalaire cp : (f,g) ~ (f lg) est continue sur ( C.C
2 (/,0C) )2.
6) Relation de Chasles
Soient/ E CM(l,IK) et!' un intervalle tel que!' c l. Sif est intégrable sur/, alors J
l f est intégrable sur J' .
Preuve
Schématiquement, en utilisant 3.1.2 3) Prop. 3 p. 157 :
(f int. sur!) {=::} Clf l int. sur!) ===} Cl! 1 int. sur!') {=::} (f int. sur!').
•
Soient a E J, J' =] - oo; a] n J, J" = 1 n [a; +oo[,f E CM(J, IK) .
1) Pour que f soit intégrable sur l, il faut et il suffit que f soit intégrable sur J' et sur
J".
l
2) De plus, si/ est intégrable sur 1, alors:
f f = f f + f f.
J
I
I '
I "
.
Preuve
1) Résulte de la Prop. 8 et de 3.1.2 3) Prop. 4 p. 157.
2) Supposons f intégrable sur 1.
1
"') \
Revoir la définition d'un produit scalaire
\j..) (réel ou complexe) d. § 1.6. l , Déf. 1.
Autrement dit: (j;, ) 11 eN converge en
moyenne quadratique vers f si et
seulement si:
1
lf n - f 1
2 ----+ O.
l
noo
'JJ Cf. 1.6.2 Pro p. 4 p. 82.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
170
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout (f,g) de ( C.C
2 (l,OC))
2
, f gest intégrable sur ! , donc
l'application cp : (f,g) ~ (f ig) = l f g est correctement définie de ( C.C
2 (l,OC) r dans OC.
On a, pour tout a de OC et toutes f, g, h de C .C
2 ( l, OC) :
•
=a f 7 g + f 7h = acp(f,g) + cp(f,h)
• cp(f, f) = f 111
2 ?: 0
• cp(f,f) = 0 {=::} f 1 11
2 = 0 {=::} f = 0, puisque f est continue sur l.
Ceci montre que 2 (l,OC).
•
Soient Cfn)n EN une suite dans C.C
2 (!, IK) ,f E C.C
2 (!, IK).
On dit que Cfn)n EN converge en moyenne quadratique vers f si et seulement si
~n)n EN converge vers/pour la norme N2.
Remarques:
1) On a,pourtoutesf,g deC.C
2 (/ ,0C):
l(f lg) I =I l f g l ~ j If g l = j lfg l =Ni (fg) ~ N 2(f)N2(g).
2) L'application produit scalaire cp : (f,g) ~ (f lg) est continue sur ( C.C
2 (/,0C) )2.
6) Relation de Chasles
Soient/ E CM(l,IK) et!' un intervalle tel que!' c l. Sif est intégrable sur/, alors J
l f est intégrable sur J' .
Preuve
Schématiquement, en utilisant 3.1.2 3) Prop. 3 p. 157 :
(f int. sur!) {=::} Clf l int. sur!) ===} Cl! 1 int. sur!') {=::} (f int. sur!').
•
Soient a E J, J' =] - oo; a] n J, J" = 1 n [a; +oo[,f E CM(J, IK) .
1) Pour que f soit intégrable sur l, il faut et il suffit que f soit intégrable sur J' et sur
J".
l
2) De plus, si/ est intégrable sur 1, alors:
f f = f f + f f.
J
I
I '
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.
Preuve
1) Résulte de la Prop. 8 et de 3.1.2 3) Prop. 4 p. 157.
2) Supposons f intégrable sur 1.