\JJ Cf.3.1.1 Cor.2) p.155.
Autrement dit: (fn)neN converge en
moyenne vers f si et seulement si:
1
If,, - fi ~ o.
I
noo
\ ] ) lci,f
2 désigne!· f.
L'inégalité usuelle :'v' (a,,8) E (IR+) 2 ,
1
a,B :;::; 2: (a 2 + ,8 2 ) est utile.
f/J Cf. 2.3.4 2) Th. 3 p. 132.
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
1) N, (À/) = /, IVI = /, l>.I If 1 = l>.I /,Il l = l>.I N, (f)
2) N,(f) = O ~/, Il l= O ~ f = O
3) N, (f + g) =/,If+ gl :;::; /, Clfl + lgl) =/,Ill+/, lgl = N, (f) + N, (g).
•
Soient Un)nE N une suite dans CC
1 (1,IK), etf ECC
1 (!,IK) . On dit que Un)nE N
converge en moyenne vers f si et seulement si Un)n EN converge vers f pour la
norme Ni.
5) Norme N 2 et convergence en moyenne quadratique
Inégalité de Cauchy-Schwarz - - - - - - - - - - - -
Soientf,g E CM(J,IK).
Si f 2 et g 2 sont intégrables sur I , alors 7 g est intégrable sur I et :
Preuve
1) En développant (lfl - lgl)
2
~ 0 , on obtient 0 :;::; If gl:;::; ~(IJl 2 + lgl 2 ). Comme J 2 et g 2 sont
intégrables sur!, ~ (If 1
2 + lgl
2 ) l'est, puis (théorème de domination 3.1.2 2) Prop. 2 p. 157), 17 gl l'est,
et donc 7 g aussi.
2) Il existe une suite croissante CJn)n eN• de segments dont la réunion égale à!. D'après l'inégalité de
Cauchy-Schwarz pour les intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment , on a :
En passant à la limite quand n tend vers l'infini on obtient le résultat voulu.
•
---.,
Soit/ E CM(J,IK). On dit que/ est de carré intégrable sur I si et seulement si 1/1
2
est intégrable sur / .
L'ensemble des applications continues sur I et de carré intégrable sur /, à valeurs
dans IK, est un IK-ev, et l'application (f,g) f----+ (fig)= 1 f g est un produit scalaire sur ce IK-ev. On note Nz la nonne associée:
Nz(f) ~ (J 111
2
)
1
. _J
Preuve
Notons ici C.C
2 (l,IK) l'ensemble des applications continues sur let de carré intégrable sur/, à valeurs
dans !K.
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