3.2.1 Applications négligeables
Une application f : 1 -----+ OC est dite négligeable si et
seulement si : f est intégrable sur /.
1
f E CM(l, OC)
f Il l = 0
On note ici N (l ,OC) l'ensemble des applications négligeables de I dans OC.
a) Montre r que, pour toute f de CM(/ ,OC), f est négligeable si et seulement si, pour tout segment [a ; b] inclus
dans / , f lta:bJ est nulle sauf en un nombre fini de points.
b) Montrer que N (J ,OC ) est un idéal de l'algè bre
CM (l ,OC), c'est-à-dire:
I
N=f=. 0
Va E OC, V f ,g E N(l ,OC) , af + g E N (l ,OC)
Vh E CM(/ ,OC) , V f E N(l, OC) , hf E N (l ,OC).
c) Soie nt Cfn)n eN une suite dans N (l ,OC), f E CM(/ ,OC)
intégrable sur / , telles que Cfn)neN converge en moyenne
versfsur /.Montrer: f E N(l ,OC).
3.2.2 Intégrabilité d ' une fonction non partout définie
Soit D une partie de l te lle que, pour tout segment J
inclus dans/, J n D soit fini , et soitf: l - D-----+ OC une
application. On dit que f est intégrable sur 1 si et seulement s' il existe f 1 E CM(/ ,OC) intégrable sur 1 et telle que
fi lt - 0 = f.
Soit f : l - D -----+ OC intégrable sur / . Montrer que, pour
toute h E CM (/ ,OC) , et que !2 l1-0 = f , h est intégrable
sur/, et que f h = f /1.
Ceci permet de définir f f par f f = f h où h est
n'importe quel élément de CM(/,OC) prolongeant f .
Exemple : f : IR* --+ IR est intégrable sur lR .
x >--> sin
2 x
7
3.2.3 Espaces C.CP (J ,OC)
Pour p E [l ; +oo[, on note CD' (l ,OC) l'ensemble des
applications continues f : 1 -----+ OC telles que If IP soit
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
intégrable sur/ et 11 · l IP l'application de CD' (/, OC) dans lR
définie par :
1
V f E C.CP(l ,OC), 11 / llp = (! lf(x) l"dx) µ .
De plus, on note CL'JO (l,OC) l'ensemble des applications
continues bornées de l dans OC et 11 · l loo l'application de
C.C
00 (1 ,0C) dans lR définie par:
is\:/f E C.C
00 (1 ,0C), 11 / lloo = Sup l/(x) I.
xE I
Soit p E (1 ; +oo]. Montrer que C.C" (/,OC) est un OC-ev,
que 11 · Il" est une norme sur C.C" (/, OC) , et que, si
p E] l ; +oo[ , on a, en notant q = _ P _ (de sorte que
p-1
l
l
- + - = l):
p
q
\If E C.CP(J ,OC) , \:/g E CO (l ,OC),
{
f g E C .C
1 (/,OC)
ll fg ll 1 ~ 11 ! 11 /J ll g llq ·
(Utiliser l'exercice 1.1.9 p. 11 ).
3.2.4
Soit f E C(/,OC). On note Et= {u E]O; l];
1
f E CDï (/ ,OC) }, cf. exercice 3.2.3.
a) Montrer que E f est un intervalle de lR.
b) On suppose f =f =. 0 et E f =f =. 0 . Démontrer que l'application est convexe.
11>--> ln(ll /ll 1 )
u
c) En déduire que , pour tout (p ,r,s) E [l ; +oo] 3 tel que
r < p < s, on a:
CL'(l ,OC) nC.C
5 (/,0C) c C.CP(J, OC).
3.2.5 Soient p , p' E [l; +oo] tels que p < p' . Montrer
que les restrictions de 11 · Il" et 11 · 11"' à
E = CD'(JR,OC) n C.C"' (JR,OC) (cf. exercice 3.2.3) ne sont
pas comparables, c'est-à-dire qu'il existe Cfn)neN• ,
(gn)neN* dans E telles que :
l
ll J,1l lp ~ +oo et llfn llp' ~ 0
noo
nco
ll g11llp ~ 0 et llgn ll /J' ~ + oo.
noo
noo
3.2.3 Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert
ou ouvert
Soient (a ,b) E IR x (IR U {+oo}) tel que a < b , f E CM( [a; b[,OC) . Notons
F : [a; b[-----+ OC l'application définie par:
'VX E [a; b [, F(X) = 1 x f.
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Une application f : 1 -----+ OC est dite négligeable si et
seulement si : f est intégrable sur /.
1
f E CM(l, OC)
f Il l = 0
On note ici N (l ,OC) l'ensemble des applications négligeables de I dans OC.
a) Montre r que, pour toute f de CM(/ ,OC), f est négligeable si et seulement si, pour tout segment [a ; b] inclus
dans / , f lta:bJ est nulle sauf en un nombre fini de points.
b) Montrer que N (J ,OC ) est un idéal de l'algè bre
CM (l ,OC), c'est-à-dire:
I
N=f=. 0
Va E OC, V f ,g E N(l ,OC) , af + g E N (l ,OC)
Vh E CM(/ ,OC) , V f E N(l, OC) , hf E N (l ,OC).
c) Soie nt Cfn)n eN une suite dans N (l ,OC), f E CM(/ ,OC)
intégrable sur / , telles que Cfn)neN converge en moyenne
versfsur /.Montrer: f E N(l ,OC).
3.2.2 Intégrabilité d ' une fonction non partout définie
Soit D une partie de l te lle que, pour tout segment J
inclus dans/, J n D soit fini , et soitf: l - D-----+ OC une
application. On dit que f est intégrable sur 1 si et seulement s' il existe f 1 E CM(/ ,OC) intégrable sur 1 et telle que
fi lt - 0 = f.
Soit f : l - D -----+ OC intégrable sur / . Montrer que, pour
toute h E CM (/ ,OC) , et que !2 l1-0 = f , h est intégrable
sur/, et que f h = f /1.
Ceci permet de définir f f par f f = f h où h est
n'importe quel élément de CM(/,OC) prolongeant f .
Exemple : f : IR* --+ IR est intégrable sur lR .
x >--> sin
2 x
7
3.2.3 Espaces C.CP (J ,OC)
Pour p E [l ; +oo[, on note CD' (l ,OC) l'ensemble des
applications continues f : 1 -----+ OC telles que If IP soit
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
intégrable sur/ et 11 · l IP l'application de CD' (/, OC) dans lR
définie par :
1
V f E C.CP(l ,OC), 11 / llp = (! lf(x) l"dx) µ .
De plus, on note CL'JO (l,OC) l'ensemble des applications
continues bornées de l dans OC et 11 · l loo l'application de
C.C
00 (1 ,0C) dans lR définie par:
is\:/f E C.C
00 (1 ,0C), 11 / lloo = Sup l/(x) I.
xE I
Soit p E (1 ; +oo]. Montrer que C.C" (/,OC) est un OC-ev,
que 11 · Il" est une norme sur C.C" (/, OC) , et que, si
p E] l ; +oo[ , on a, en notant q = _ P _ (de sorte que
p-1
l
l
- + - = l):
p
q
\If E C.CP(J ,OC) , \:/g E CO (l ,OC),
{
f g E C .C
1 (/,OC)
ll fg ll 1 ~ 11 ! 11 /J ll g llq ·
(Utiliser l'exercice 1.1.9 p. 11 ).
3.2.4
Soit f E C(/,OC). On note Et= {u E]O; l];
1
f E CDï (/ ,OC) }, cf. exercice 3.2.3.
a) Montrer que E f est un intervalle de lR.
b) On suppose f =f =. 0 et E f =f =. 0 . Démontrer que l'application est convexe.
11>--> ln(ll /ll 1 )
u
c) En déduire que , pour tout (p ,r,s) E [l ; +oo] 3 tel que
r < p < s, on a:
CL'(l ,OC) nC.C
5 (/,0C) c C.CP(J, OC).
3.2.5 Soient p , p' E [l; +oo] tels que p < p' . Montrer
que les restrictions de 11 · Il" et 11 · 11"' à
E = CD'(JR,OC) n C.C"' (JR,OC) (cf. exercice 3.2.3) ne sont
pas comparables, c'est-à-dire qu'il existe Cfn)neN• ,
(gn)neN* dans E telles que :
l
ll J,1l lp ~ +oo et llfn llp' ~ 0
noo
nco
ll g11llp ~ 0 et llgn ll /J' ~ + oo.
noo
noo
3.2.3 Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert
ou ouvert
Soient (a ,b) E IR x (IR U {+oo}) tel que a < b , f E CM( [a; b[,OC) . Notons
F : [a; b[-----+ OC l'application définie par:
'VX E [a; b [, F(X) = 1 x f.
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