Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
,..
Rappelons (cf.Analyse MPSl,4.1.2 Déf.3)
\J.- que/+ etf- sont les applications de
I dans ~ définies par:
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
166
Vx E / ,
1
j+(x) = Sup(t(x),o)
r (x) = Sup( - f (x),O)
et que l'on a : f = j+ - 1- et
111 =t++r .
De plus.f étant continue par morceaux,
j+ etf- le sont aussi.
Il est clair que cette Définition prolonge
celle de 3.1.1 p.154.
Lorsque I est un segment,] = [a; b],
ona
La notion d'intégrale pour une fonction
intégrable
f: l ---+C
prolonge donc celle d'intégrale d'une
application continue par morceaux sur
un segment.
Il est clair que cette Définition prolonge
celle vue auparavant, dans Déf - Not. 2.
Cf.3.1.1 Rem.2) p.155.
~(/,IK) est un IK-ev pour les lois usuelles.
3) Cas des fonctions à valeurs réelles
[ soitf E CM(l ,JR) ;f est intégrable sur I si et seulement si/+ et/- le sont. ~
Preuve
1) Sif est intégrable sur!, alors (par définition) lfl l'est; comme 0 :::;; j + :::;; lfl et 0 :::;; 1- :::;; lfl, le
théorème de domination (3. l.2 2) Prop. 2 p. 157) montre que j +et 1- le sont aussi.
1
2) Réciproquement, si j+ et 1- sont intégrables sur / , alors f l'est aussi, puisque f = j+ - 1- (cf.
Prop. 2).
l
Soit f E CM(/ ,JR). Si f est intégrable sur I , on appelle intégrale de f sur l , et on
note 1 f, le réel :
J
Si I est un singleton, alors toute application f: I ~ IR est intégrable et: f f =O.
4) Cas des fonctions à valeurs complexes
Soit f E CM ( l ,
Remarquons d'abord que, f étant continue par morceaux, Ré f et lm f le sont aussi.
1) Supposons f intégrable sur/. Comme IRé fi :::;; lfl et llm fi ::::; lfl, le théorème de domination
(3. l.2 2) Prop. 2 p. 157) montre que IRé f 1 et llm f 1 sont intégrables sur / ,donc (par définition) Réf
et lm f sont intégrables sur /.
2) Réciproquement, si Réf et lm f sont intégrables sur/, comme f = Réf+ i lm f, f est intégrable
sur l (cf. Prop. 2 p. 157).
Soit f E CM (l,
_J
l
f f = f Réf+if Im!
- - - - - -
Si l est un singleton, alors toute application f : I ~ IC est intégrable et : f f = 0.
Remarque: Sil est un segment, l = [a ; ,B]. alors toute application f de CM(l,IC) est intégrable sur let: f f = 1/ 3 f. De plus.f est alors intégrable sur les quatre intervalles [a ; ,B],
]a; ,B], [a ; .BL ]a ; ,B[ et les quatre intégrales de f sur ces intervalles sont égales.
,..
Rappelons (cf.Analyse MPSl,4.1.2 Déf.3)
\J.- que/+ etf- sont les applications de
I dans ~ définies par:
..._,
.s::
Ol
·;:
>- 0.
0
u
166
Vx E / ,
1
j+(x) = Sup(t(x),o)
r (x) = Sup( - f (x),O)
et que l'on a : f = j+ - 1- et
111 =t++r .
De plus.f étant continue par morceaux,
j+ etf- le sont aussi.
Il est clair que cette Définition prolonge
celle de 3.1.1 p.154.
Lorsque I est un segment,] = [a; b],
ona
La notion d'intégrale pour une fonction
intégrable
f: l ---+C
prolonge donc celle d'intégrale d'une
application continue par morceaux sur
un segment.
Il est clair que cette Définition prolonge
celle vue auparavant, dans Déf - Not. 2.
Cf.3.1.1 Rem.2) p.155.
~(/,IK) est un IK-ev pour les lois usuelles.
3) Cas des fonctions à valeurs réelles
[ soitf E CM(l ,JR) ;f est intégrable sur I si et seulement si/+ et/- le sont. ~
Preuve
1) Sif est intégrable sur!, alors (par définition) lfl l'est; comme 0 :::;; j + :::;; lfl et 0 :::;; 1- :::;; lfl, le
théorème de domination (3. l.2 2) Prop. 2 p. 157) montre que j +et 1- le sont aussi.
1
2) Réciproquement, si j+ et 1- sont intégrables sur / , alors f l'est aussi, puisque f = j+ - 1- (cf.
Prop. 2).
l
Soit f E CM(/ ,JR). Si f est intégrable sur I , on appelle intégrale de f sur l , et on
note 1 f, le réel :
J
Si I est un singleton, alors toute application f: I ~ IR est intégrable et: f f =O.
4) Cas des fonctions à valeurs complexes
Soit f E CM ( l ,
Remarquons d'abord que, f étant continue par morceaux, Ré f et lm f le sont aussi.
1) Supposons f intégrable sur/. Comme IRé fi :::;; lfl et llm fi ::::; lfl, le théorème de domination
(3. l.2 2) Prop. 2 p. 157) montre que IRé f 1 et llm f 1 sont intégrables sur / ,donc (par définition) Réf
et lm f sont intégrables sur /.
2) Réciproquement, si Réf et lm f sont intégrables sur/, comme f = Réf+ i lm f, f est intégrable
sur l (cf. Prop. 2 p. 157).
Soit f E CM (l,
_J
l
f f = f Réf+if Im!
- - - - - -
Si l est un singleton, alors toute application f : I ~ IC est intégrable et : f f = 0.
Remarque: Sil est un segment, l = [a ; ,B]. alors toute application f de CM(l,IC) est intégrable sur let: f f = 1/ 3 f. De plus.f est alors intégrable sur les quatre intervalles [a ; ,B],
]a; ,B], [a ; .BL ]a ; ,B[ et les quatre intégrales de f sur ces intervalles sont égales.