3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
3.2 Fonctions intégrables
à valeurs réelles ou complexes
3.2.1
\?'J. 11 est clair que cette Définition prolonge
\JJ cellede3.1.1 p.154.
'(
La lettre L, est ici utilisée en l'honneur du
\..L,. mathématicien Henri Lebesgue,créateur
de la théorie de la mesure, aboutissement
de la notion d'intégrale.
Généralités
1) Définition de l'intégrabilité
Soitf E CM(l, JK). On dit que f est intégrable sur l si et seulement si If 1 (qui est
l continue par morceaux et ;;:::: 0) est intégrable sur I .
On peut noter [,
1 (l ,JK) l'ensemble des applications continues par more eaux
dans lK et intégrables sur/.
Remarque: Si lest un segment, a lors CM (l,OC) = .C
1 (!,OC) , cf. 3.1.1 Rem. p. 154.
Exemples:
eix
1
1) f : x r----+ 2 est intégrable sur [l; +oo[, puisque Ill : x r----+ 2 l'est.
X
X
~
1
2) g : x r----+ - n'est pas intégrable sur [l ; +oo[, puisque lgl : x r----+ - ne l'e
X
X
2) Propriétés
Soientf E CM(l, JK) , cp E CM (l ,JR) .
Si Il l ~ cp et si cp est intégrable sur I , alors! est intégrable sur/.
Preuve
Il suffit d'appliquer le théorème de domination (3. 1.2 2) Prop. 2 p. 157).
1
f E CM (l, JK)
Si l est borné
f est bornée
Preuve
, alors f est intégrable sur l.
L'application constante

Exemple:
st pas.
.
de I
•
•
L'application f: JO; lJ ---+ IR, x r+ sin (~) est intégrable sur JO; lJ , car JO; l J
f est continue par morceaux et bornée. x
est borné et
Soient À E lK,f,g E CM(l, JK).
Sif et g sont intégrables sur/, alors Àf + g est intégrable sur/.
Preuve
égrable sur I
Comme IV+ gl ~ IÀI lfl + lgl et que lfl et lgl sont intégrables sur/, IV+ gl est int
(théorème de domination, 3. 1.2 2) Prop. 2 p. 157), et donc Àf + g est intégrable sur /.
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