"O
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
164
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles
• Pour étudier l'intégrabilité d'une application/ : l ---+ lR continue par morceaux sur un intervalle l de lR (tel
quel ne soit pas un segment) et à valeurs positives ou nulles (ex. 3.1.1), on essaie d'appliquer:
- les théorèmes de comparaison : théorème de domination (§ 3.1.2), Prop.2), théorème d 'équivalence (§ 3.1.3
Prop.2)
- la comparaison à l' exemple de Riemann, c'est-à-dire les règles « xa f(x)» en +oo (§ 3. 1.3 Th.1) et
«(x - ar f(x)» en a+(§ 3.1.3 Th.2 et Cor.).
• Pour montrer l'intégrabilité d'une fonction« abstraite» f, continue par morceaux sur un intervalle l et à
valeurs réelles ;?: 0, on pourra :
- soit travailler surf en essayant d'appliquer le théorème de domination (ex. 3.1.3)
- soit travailler sur des« intégrales partielles» de/, par exemple 1x f si l =[a; +oo[ (ex. 3.1.4).
• Pour étudier des sommes de Riemann sur un intervalle qui n'est pas un segment, on pourra envisager l ' exercice 3.1.5, qui étend au cas des applications de [O; 1] dans lR continues, positives, décroissantes et intégrables, le
théorème sur les sommes de Riemann vu dans le § 2.3.5.
3.1.1 Etudier l'intégrabilité des applications suivantes (à
valeurs dans IR+), pour lesquelles on donne f (x) et
l'intervalle :
ln(l +x)
a)
, [l; +oo[
X
b) Jx3 + 1 -x, [O; +oo[
c) ln(1 + (Jx+~)), [l ;+oo[
d) (lnx)- lnx , [e; +oo[
1
.
e) ~· [O ; 1[.
vl -x
4
3.1.2
Soit C le C -espace vectoriel des applications
continues de [ - 1; 1] dans C .
a) Montrer que, pour toute f de C, les applications
lf(t) I
lf(t) I
.
. ,
t 1--+ ~ et t 1--+ ~ sont respectivement mte...; l - t
vl+t
grables sur [-1; 1[ et ] - 1; 1] et que les applications
N,N' : C-----+ IR défi nies par
N(f) = (1 lf(t) I dt ,
l-1~
N' (f) = [1 1 f (t) I dt sont des normes sur C.
l-1 ~
b) Net N' sont-elles équivalentes?
c) L'application T : (C, N)-----+ (C,N) est-elle continue
f !---+ j
(où :'Vt E [-l; l],}(t) = f( -t) )?
3.1.3 a) Montrer :
* 2
a{J
2af3
'V(a,{3) E (IR+ ) , - - :%; Inf(a,{J) :%; - -
a+ {3
a+{J
b) En déduire que, si f ,g : [0; +oo[----+ IR sont continues
et > 0 , alors Tnf(f,g) est intégrable sur [O; +oo[ si et
seulement si -1!_ l'est.
f +g
3.1.4 Critère d'Ermakoff
Soient a E IR , f : [a; +oo[----+ IR continue, telle que
f ~ 0, g: [a ; +oo[----+ IR de classe C
1
, telle qu'il existe
À > 0 te l que:
'Vx E [a; + oo[, g(x) ~ x +À.
a) On suppose qu'il existe k E [O; 1 [ tel que :
'Vx E [a; +oo[, f(g(x))g ' (x) :%; kf(x).
Montrer que f est intégrable sur [a; +oo[.
b) On suppose qu'il existe k E]l ; +oo[ tel que:
'Vx E [a; +oo[, f(g(x))g'(x) ~ kf(x) .
Montrer que f n'est pas intégrable sur [a ; +oo[.
3.1.5 a) Soit f : ]0; l] -----+ IR+ continue, décroissante,
intégrable sur ]0; 1].
1 n (k) 11
Montrer : lim - L f - = f.
noo n k = I
n
0
b) Application. Calculer les limites :
Ci)
1
. (n!) ii
hm - -
noo
n
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
164
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles
• Pour étudier l'intégrabilité d'une application/ : l ---+ lR continue par morceaux sur un intervalle l de lR (tel
quel ne soit pas un segment) et à valeurs positives ou nulles (ex. 3.1.1), on essaie d'appliquer:
- les théorèmes de comparaison : théorème de domination (§ 3.1.2), Prop.2), théorème d 'équivalence (§ 3.1.3
Prop.2)
- la comparaison à l' exemple de Riemann, c'est-à-dire les règles « xa f(x)» en +oo (§ 3. 1.3 Th.1) et
«(x - ar f(x)» en a+(§ 3.1.3 Th.2 et Cor.).
• Pour montrer l'intégrabilité d'une fonction« abstraite» f, continue par morceaux sur un intervalle l et à
valeurs réelles ;?: 0, on pourra :
- soit travailler surf en essayant d'appliquer le théorème de domination (ex. 3.1.3)
- soit travailler sur des« intégrales partielles» de/, par exemple 1x f si l =[a; +oo[ (ex. 3.1.4).
• Pour étudier des sommes de Riemann sur un intervalle qui n'est pas un segment, on pourra envisager l ' exercice 3.1.5, qui étend au cas des applications de [O; 1] dans lR continues, positives, décroissantes et intégrables, le
théorème sur les sommes de Riemann vu dans le § 2.3.5.
3.1.1 Etudier l'intégrabilité des applications suivantes (à
valeurs dans IR+), pour lesquelles on donne f (x) et
l'intervalle :
ln(l +x)
a)
, [l; +oo[
X
b) Jx3 + 1 -x, [O; +oo[
c) ln(1 + (Jx+~)), [l ;+oo[
d) (lnx)- lnx , [e; +oo[
1
.
e) ~· [O ; 1[.
vl -x
4
3.1.2
Soit C le C -espace vectoriel des applications
continues de [ - 1; 1] dans C .
a) Montrer que, pour toute f de C, les applications
lf(t) I
lf(t) I
.
. ,
t 1--+ ~ et t 1--+ ~ sont respectivement mte...; l - t
vl+t
grables sur [-1; 1[ et ] - 1; 1] et que les applications
N,N' : C-----+ IR défi nies par
N(f) = (1 lf(t) I dt ,
l-1~
N' (f) = [1 1 f (t) I dt sont des normes sur C.
l-1 ~
b) Net N' sont-elles équivalentes?
c) L'application T : (C, N)-----+ (C,N) est-elle continue
f !---+ j
(où :'Vt E [-l; l],}(t) = f( -t) )?
3.1.3 a) Montrer :
* 2
a{J
2af3
'V(a,{3) E (IR+ ) , - - :%; Inf(a,{J) :%; - -
a+ {3
a+{J
b) En déduire que, si f ,g : [0; +oo[----+ IR sont continues
et > 0 , alors Tnf(f,g) est intégrable sur [O; +oo[ si et
seulement si -1!_ l'est.
f +g
3.1.4 Critère d'Ermakoff
Soient a E IR , f : [a; +oo[----+ IR continue, telle que
f ~ 0, g: [a ; +oo[----+ IR de classe C
1
, telle qu'il existe
À > 0 te l que:
'Vx E [a; + oo[, g(x) ~ x +À.
a) On suppose qu'il existe k E [O; 1 [ tel que :
'Vx E [a; +oo[, f(g(x))g ' (x) :%; kf(x).
Montrer que f est intégrable sur [a; +oo[.
b) On suppose qu'il existe k E]l ; +oo[ tel que:
'Vx E [a; +oo[, f(g(x))g'(x) ~ kf(x) .
Montrer que f n'est pas intégrable sur [a ; +oo[.
3.1.5 a) Soit f : ]0; l] -----+ IR+ continue, décroissante,
intégrable sur ]0; 1].
1 n (k) 11
Montrer : lim - L f - = f.
noo n k = I
n
0
b) Application. Calculer les limites :
Ci)
1
. (n!) ii
hm - -
noo
n