"'O
0
3.2.2
Attention :pour écrire cette égalité, il faut
d'abord s'assurer que f et g sont
intégrables sur/.
Ce résultat prolonge celui de 3. 1 .2 1)
Prop. 1 p. 156.
~ ·
~ Cf. Ana lyse MPSI, 6.3 Pro p. 1.
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Rappelons que, par définition :
f: l -+C
t ~ f(t).
3.2 · Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
5) Utilisation d'une suite exhaustive de segments
. .
Soitf E CM(l,C), intégrable sur I.
Pour toute suite croissante Un)nE N* de segments dont la réunion est égale à I ,
on a:
r J -----* f, J.
11 11 noo I
Preuve
• Si f est à valeurs réelles :
• Puis, pour f à valeurs complexes :
1 f = { (Réf + i lm f) = { Réf + i { lm f ----+ f Réf + i f lm f = f f.
1,,
11,,
11,,
11,,
noo
/
/
/
Propriétés
1) Addition et loi externe
Linéarité de l'intégration
.........
Soient À E et:
Preuve
D'après 3.2.l Prop. 2 p. 165, Àf + g est intégrable sur!. Il existe une suite croissante Un)neN* de segments dont la réunion est égale à /.D'après 1) Prop. 5 p. 193 :
1
f 11,,
noo
I
À { !+ { g----+ Àf t+f g.
11,,
11,,
noo
/
/
Comme : V'n E N*,
{ (Àf + g) = À { f + { g,
l11l
11, .
11"
on en déduit, en passant à la limite quand n tend vers +oo : f (Àf + g) =À f f + f g. •
2) Conjugaison
Soitf E CM(l,C).
1) f est intégrable sur I si et seulement si f l'est.
2) Si f est intégrable sur I, alors f, f = f, f.
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