"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
'
156
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
3.1.2
Attention :pour écrire cette égalité, il faut
d'abord s'assurer que f et g sont
intégrables sur l .
Preuve
1) (i) ===? (ii) :
Supposons f intégrable sur I et soit Un)new une suite exhaustive de segments de/.
D'après les Définitions 1 et 2, on a : Vn E N*,
{ f ~ j f.
11. ,
l
Le réel M = j f convient.
(ii) ===? (iii) :
Il suffit de remarquer qu'il existe au moins une suite croissante Un ) 11 ew de segments dont la réunion soit
égale à / ,en examinant les types d'intervalles possibles pour/. Par exemple, pour (a,b) E JR 2 tel que
a < b:
[
b-a ]
]a ;b] = LJ a+-n-;b,
llE N*
[a; +oo[= LJ [a ; a+ n].
nEN*
(iii) ===? (i) :
Supposons qu'il existe M E lR+ et une suite croissante U,,),,eN* de segments dont la réunion est égale
à / , tels que : Vn E N*, { f ~ M.
11, ,
Soit 1 =[a; ,B] un segment inclus dans /. Comme LJ 1 11 = ! , il existe (n 1 ,n 2 ) E (N*) 2 tel que
nEN*
a E 1 111 et ,B E 1,, 2 • En notant no= Max(n 1 ,n2), puisque Un) 11 ew est croissante, on a: a E 1,, 0 , et
,8 E 1 11 0 d'où 1 = [a ; ,8] C ln 0
, puis, comme f ~ 0: { f ~ { f ~ M.
11 h 0
Ainsi, pour tout segment 1 inclus dans I : i f ~ M. Ceci montre que f est intégrable sur /.
2) Supposons (i), (ii) ou (iii) satisfaite, et soit Un )new une suite croissante de segments dont la réunion
est égale à/ .
• La suite réelle ( r 1) est croissante (puisque Un)n eN* est croissante et f ~ 0) ' majorée par
J J,, n EN*
j f, donc converge vers un réel noté M 0 , et:
Sup { f = lim { f = Mo ~ { f.
neN• 11. , noo 11 11
J1
•On a vu, dans la preuve de (iii) ===? (i) que, pour tout segment 1 inclus dans /, il existe n 0 E N* tel que
1 c 1 110 , et donc { f ~ { f ~ M 0 . En passant à la borne supérieure lorsque 1 décrit l'ensemble des
11 h 0
segments inclus dans/, on déduit:
j f ~ M 0 •
Finalement : M 0 = j f.
•
Propriétés algébriques
1) Addition et loi externe
Soient À E ~+,J, g E CM(!.~) et ~ O.
Si/ et g sont intégrables sur / , alors À/ + g est intégrable sur l et :
f,<Àf +g)=À f,1+ J,g.
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
'
156
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
3.1.2
Attention :pour écrire cette égalité, il faut
d'abord s'assurer que f et g sont
intégrables sur l .
Preuve
1) (i) ===? (ii) :
Supposons f intégrable sur I et soit Un)new une suite exhaustive de segments de/.
D'après les Définitions 1 et 2, on a : Vn E N*,
{ f ~ j f.
11. ,
l
Le réel M = j f convient.
(ii) ===? (iii) :
Il suffit de remarquer qu'il existe au moins une suite croissante Un ) 11 ew de segments dont la réunion soit
égale à / ,en examinant les types d'intervalles possibles pour/. Par exemple, pour (a,b) E JR 2 tel que
a < b:
[
b-a ]
]a ;b] = LJ a+-n-;b,
llE N*
[a; +oo[= LJ [a ; a+ n].
nEN*
(iii) ===? (i) :
Supposons qu'il existe M E lR+ et une suite croissante U,,),,eN* de segments dont la réunion est égale
à / , tels que : Vn E N*, { f ~ M.
11, ,
Soit 1 =[a; ,B] un segment inclus dans /. Comme LJ 1 11 = ! , il existe (n 1 ,n 2 ) E (N*) 2 tel que
nEN*
a E 1 111 et ,B E 1,, 2 • En notant no= Max(n 1 ,n2), puisque Un) 11 ew est croissante, on a: a E 1,, 0 , et
,8 E 1 11 0 d'où 1 = [a ; ,8] C ln 0
, puis, comme f ~ 0: { f ~ { f ~ M.
11 h 0
Ainsi, pour tout segment 1 inclus dans I : i f ~ M. Ceci montre que f est intégrable sur /.
2) Supposons (i), (ii) ou (iii) satisfaite, et soit Un )new une suite croissante de segments dont la réunion
est égale à/ .
• La suite réelle ( r 1) est croissante (puisque Un)n eN* est croissante et f ~ 0) ' majorée par
J J,, n EN*
j f, donc converge vers un réel noté M 0 , et:
Sup { f = lim { f = Mo ~ { f.
neN• 11. , noo 11 11
J1
•On a vu, dans la preuve de (iii) ===? (i) que, pour tout segment 1 inclus dans /, il existe n 0 E N* tel que
1 c 1 110 , et donc { f ~ { f ~ M 0 . En passant à la borne supérieure lorsque 1 décrit l'ensemble des
11 h 0
segments inclus dans/, on déduit:
j f ~ M 0 •
Finalement : M 0 = j f.
•
Propriétés algébriques
1) Addition et loi externe
Soient À E ~+,J, g E CM(!.~) et ~ O.
Si/ et g sont intégrables sur / , alors À/ + g est intégrable sur l et :
f,<Àf +g)=À f,1+ J,g.