Théorème très utile en pratique.
~ L'intégrabilité de g entraîne celle de f
Exercices 3. 1 .3.
'i On dit aussi que l ' est un sous intervalle
-ci._:....- de 1.
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
'i:
>- a.
0
u
\()J J ' C T' C l .
3.1 ·Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles
Preuve
• L'application >../ + g est continue par morceaux et ~ 0 .
•Il existe une suite croissante Un )n eN• de segments dont la réunion est égale à/. On a :
'v'nE N*,
{ (>..f+g)=À { f+ { g ~ À J, f+ f, g ,
1111
h h ,
l
l
donc (cf. 3.1.l Prop. 2 p. 155), Àf + g est intégrable.
De plus, comme
{ f ------* /, f et { g -------* /, g
on a :
1111
noo
l
1111 noo l '
{ (>..f+g) = À { !+ { g------*À /,t + f, g,
iJ..
iJ.. 11 11 noo l
f
donc:
J, cv+g)=À J, 1+ J, g.
2) Théorème de majoration
Théorème de majoration
Soientf, g E CM(/,!R).
{ O ~ f ~ g
1
f, f,
Si
. ,
, alors f est intégrable sur I et f ~ g.
g est mtegrable sur I
1
1
\__
Preuve
Supposons 0 ~ f ~ g et g intégrable sur /.
Pour tout segment J inclus dans I :
[1 ~ i g ~ 1, g.
D'après 3.1.1 Définitions 1 et 2,f est intégrable sur I et : /, f = Sup { f ~ /, g .
l
1 11
l
3) lntégrabilté sur un sous-intervalle
Soient! E CM(J,IR), ~ 0, l ' un intervalle tel que I' c I.
•
•
• On dit que f est intégrable sur l ' si et seulement si la restriction! 1 1 , est intégrable
sur!'.
l • Si f est intégrable suri'. on note L f au lieu de L f 1 1 ,.
J
Soient! E CM(J ,IR), ~ 0 , ! ' un intervalle tel que J' c !. Sif est intégrable sur!,
alors f est intégrable sur ! ' et : /, f ~ /, f.
! '
l
Preuve
Supposons f intégrable sur/. Pour tout segment J'inclus dans ! ' (donc inclus dans / ),on a:
{ t ~ J,f.
l }'
l
Ceci montre (cf. 3. l. I Déf. 1 et 2) que f est intégrable sur ! 'et : /, f ~ /, f.
!'
l
•
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