"'O
0
c
::J
'
L'hypothèse de continuité est ici
fondamentale ; l'hypothèse « f est
continue par morceaux» ne suffit pas.
x 0
1
](H
] [ " '
J
0
Ici, Un )neN• est croissante signifie :
~...........
Vn EN*, l n C l n+ I·
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
~ ? \ Pour abréger, on peut appeler suite
o ,J...J exhaustive de segments de 1 toute suite
U
croissante Un )neN• de segments de 1
dont la réunion est égale à / .
3.1 ·Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles
3) On convient que, si I est un singleton, alors toute application f : I -----+ IR , ~ 0 est dite
intégrable sur I et que: /, f =O.
4) On peut convenir que, si I est vide, l'application vide f : I -----+ IR est ~ 0 et intégrable sur
/,et que: /, f =O .
2) Cas où l'intégrale est nulle
Si f est intégrable sur l
, alors f =O.
{
f : I -----+ lR est continue et ~ 0
L 11 _
=0 _ _ _ _ _ _ _ _
Preuve
Soit x 0 E / . Il existe un segment J, non vide et non réduit à un point, tel que x 0 E J c 1.
On a alors: 0 ~ if ~ /, f = 0, donc if = O.
D'après Analyse MPSI, 6.2.5 Cor. 4, on déduit:
Vx E J , f (x) = 0,
et en particulier: f (x 0 ) =O.
On a montré: Vx 0 E / , f (x 0 ) = 0, c'est-à-dire: f =O.
•
{
f : I -----+ lR est continue
1) Si /
2 (= f · f) est intégrable sur I , alors/= O.
1
1 t' =0
{
f : l -----+ C est continue
2) Si 1/1 est intégrable sur l , alors/= O.
L j 1tl =O
3) Utilisation d'une suite exhaustive de segments
Soit/ E CM(/,JR), ~ O. Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes: l
(i) f est intégrable sur l
(ii) Il existe M E IR+ tel que, pour toute suite croissante Un)n EN* de segments dont
. la réunion est égale à I: Vn E N*, [ f ~ M
1111
(iii) Il existe M E 1R+ et une suite croissante Un)nEN* de segments dont la réunion
est égale à I tels que : Vn E N*,
[ f ~ M.
}ln
De plus, si (i), (ii) ou (iii) est satisfaite, on a, pour toute suite croissante Un)nEN* de
segments dont la réunion est égale à l :
l
[ f = Sup [ f = lim [ f.
.
11 nEN* J1 11 noo l1,,
J
155