2.3 • Intégration sur un segment
5) Soit z E 1U - {-1} ; notons x = Ré(z), y = Tm (z).
Tl existe 8 E] - rr; rr [ unique tel que x = cos 8 et y = sin 8, et 8 = C 1 (z) (cf. 2)). Alors x #- - 1
et:
sin (}
(}
= - - - =tan-.
1 + X 1 + COS (}
2
y
Comme ~ E ]-!:. · !:_ [ on déduit : ~ = Arctan _ Y_
2
2 ' 2 '
2
l + x'
et donc E- 1 (z) = (} = 2 Arctan _ Y _ , ce qui montre que E- 1 est continue sur 1U - {-1) (comme
l + x
composée: z 1---+ (x ,y) 1---+ 2 Arctan _ Y_ , faisant intervenir une fonction de deux variables). •
l +x
Remarque : On a explicité la réciproque de & ; c'est l'applicatio n qui, à tout z = x + iy
((x ,y) E JR 2 ) de U - {- 1),associe: & - 1 (z) = 2 Arctan - Y- .
l +x
On en déduit : & -
1 (z) -----+ rr
z--> - 1
lm{z)>O
et & -
1 (z) -----+ - rr,
z-->- 1
lm{z) < O
donc & -
1 n'admet pas de prolongement continu à U.
Théorème de relèvement d'une application
de classe e" de I dans 11J, n ~ 1
Soient 1 un intervalle de JR, n E N* ,J : 1 -----'* 11J une application de classe en.
1) Il existe une application Vt E / , f (t) = é p(t).
On dit que 2) Si
J) L'application g : 1 ----+ C
est conti nue sur 1 (puisque f ne s'annule pas et que f est de classe C 1
. D!l
l t---+-1 f(I)
sur / ), donc admet au moins une primitive sur l.
Si f est constante égale à - 1, la propriété voulue est triviale (cp est l'application constante rr, par exemple).
Supposons donc f #- - l ; il existe to E I tel que f Cto) E 1U - {- l}.
D'après le Th. 2, il existe 80 E] - rr ; rr [ tel que f (to) = è
1
0 .
Considérons la primitive cp de g sur I telle que cp(to) = 80 ; autrement dit :
'Vt E / ,
1
1
J '(u )
cp(t) = 80 + - i - - du.
1 0
f (u)
Notons H : l ----+ C
. Puisque f et cp sont de classe C
1 sur /, H l'est aussi et :
f t---+ f (1) e - il"(I)
'Vt E / , H
1 (t) = J'(t)e-irp(tl + f(t)(- icp'(t))e-irp(t) = (f
1 (t)- if(t)cp
1 (t))e- irp(t) =O.
Ceci montre que H est constante.
De plus : H(to) = f(to)e- irp{ro) = 1.
Ainsi: H = 1, et donc : 'Vt E / , f(t) = eirp(r)_
De plus, puisque ('V t E J, 1f(t) 1 = 1), cp est à valeurs réelles.
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5) Soit z E 1U - {-1} ; notons x = Ré(z), y = Tm (z).
Tl existe 8 E] - rr; rr [ unique tel que x = cos 8 et y = sin 8, et 8 = C 1 (z) (cf. 2)). Alors x #- - 1
et:
sin (}
(}
= - - - =tan-.
1 + X 1 + COS (}
2
y
Comme ~ E ]-!:. · !:_ [ on déduit : ~ = Arctan _ Y_
2
2 ' 2 '
2
l + x'
et donc E- 1 (z) = (} = 2 Arctan _ Y _ , ce qui montre que E- 1 est continue sur 1U - {-1) (comme
l + x
composée: z 1---+ (x ,y) 1---+ 2 Arctan _ Y_ , faisant intervenir une fonction de deux variables). •
l +x
Remarque : On a explicité la réciproque de & ; c'est l'applicatio n qui, à tout z = x + iy
((x ,y) E JR 2 ) de U - {- 1),associe: & - 1 (z) = 2 Arctan - Y- .
l +x
On en déduit : & -
1 (z) -----+ rr
z--> - 1
lm{z)>O
et & -
1 (z) -----+ - rr,
z-->- 1
lm{z) < O
donc & -
1 n'admet pas de prolongement continu à U.
Théorème de relèvement d'une application
de classe e" de I dans 11J, n ~ 1
Soient 1 un intervalle de JR, n E N* ,J : 1 -----'* 11J une application de classe en.
1) Il existe une application Vt E / , f (t) = é p(t).
On dit que 2) Si
J) L'application g : 1 ----+ C
est conti nue sur 1 (puisque f ne s'annule pas et que f est de classe C 1
. D!l
l t---+-1 f(I)
sur / ), donc admet au moins une primitive sur l.
Si f est constante égale à - 1, la propriété voulue est triviale (cp est l'application constante rr, par exemple).
Supposons donc f #- - l ; il existe to E I tel que f Cto) E 1U - {- l}.
D'après le Th. 2, il existe 80 E] - rr ; rr [ tel que f (to) = è
1
0 .
Considérons la primitive cp de g sur I telle que cp(to) = 80 ; autrement dit :
'Vt E / ,
1
1
J '(u )
cp(t) = 80 + - i - - du.
1 0
f (u)
Notons H : l ----+ C
. Puisque f et cp sont de classe C
1 sur /, H l'est aussi et :
f t---+ f (1) e - il"(I)
'Vt E / , H
1 (t) = J'(t)e-irp(tl + f(t)(- icp'(t))e-irp(t) = (f
1 (t)- if(t)cp
1 (t))e- irp(t) =O.
Ceci montre que H est constante.
De plus : H(to) = f(to)e- irp{ro) = 1.
Ainsi: H = 1, et donc : 'Vt E / , f(t) = eirp(r)_
De plus, puisque ('V t E J, 1f(t) 1 = 1), cp est à valeurs réelles.
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