.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
146
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Remarque: En pratique, la formule de Taylor avec reste intégral sera souvent utilisée avec a
fixé et b variable.
Inégalité de Taylor-Lagrange
Soient I un intervalle de IR, n E N ,f : I ----+ E de classe en sur I et en+ 1 par morceaux sur/, (a,b) E 1 2 . On a alors:
Preuve
n (b a)k
J(b) - I: - 1(k)(a)
k=O
k!
lb - aln+i
:::::; - - - -
( n + l)!
Sup 11/n+ l)(t)ll.
tEla;bl
ll
b 1 (b - t)" 1 1
(b - a)''+I
~
dt M 1 =
M 1
'-"'
1
n+
( + l )I
n+•
a
n.
n
.
en notant M 11 + 1 = Sup l IJ<
11 +
1
> (t)ll, la; hl désignant le segment joignant les réels a, b.
/E ja;bj
•
2.3.33 Soient a E JR~, f : [-a; a] ---+ E de classe C 2 . Montrer :
1
a 2 + t 2
Vt E [-a;a], llf'(t)ll : : : : : ; -llf(a)-f(-a)ll + - - Sup llJ"(u) ll2a
2a
a E[-a ;a]
2.3.11
Les résultats de ce§ 2.3.11 ne sont que
rarement utilisés.
Théorème de relèvement
L'application e : e 1-------+ eie est une bijection continue de ] - rr ; rr [ sur 1J.J - {-1}, et
l'application réciproque de e est continue sur 1J.J - {-1}.
Preuve (pouvant être omise en première lecture)
J) Il est clair que: 'Ve E ] - n; n (, E(e) = eie = cos 8 + i sin 8 E 1IJ - {-1} .
2) Soit z E IU - {-!}.En notant x = Ré(z), y = Im(z), on a: (x,y) E IR 2 etx 2 + y 2 = 1.
JI existe donc 8 E (-n; 7r ( (unique) tel que: X = COS e et y = sin 8.
De plus : 8 #- -n.
Ainsi, z = eie = E(e) , ce qui montre la surjectivité de E.
3) Si (e182) E ] - n; n( 2 et eiei = eie2, alors 81 - 82 E 2nZ , donc 81 = 82, d'où l'injectivité de E.
4) Puisque cos et sin sont continues sur IR, l'application E : 8 t----+ eie =cos 8 + i sine est continue sur
]-n;n[.