2.3 • Intégration sur un segment
etenir
Intégration par parties
• Pour calculer une intégrale d'une fonction présentée sous forme d'un produit de deux fonctions dont l'une
a une dérivée simple et l'autre une primitive simple, penser à l'intégration par parties (ex. 2.3.32). On y songera, notamment, lorsqu'interviennent des fonctions telles que ln, Arctan, Arcsin ... à dérivées algébriques, ou
lorsqu'il s'agit d'établir une relation de récurrence portant sur des intégrales.
2.:>.:>0 Soient (a,b) E JR 2 tel que a < b, (E , < .,. >) un
espace hermitien, f,g: [a; b] ~ E de classe C
1 •
classe C
1 telle que X ' = AX, Y: [a ; b] ~ Mn, 1 (1R) de
classe C
1 telle que AY = 0, Y(a) = Y(b) =O.
Montrer : 1b < f(t),g'(t) > dt
Montrer: lb
1 X(t)Y' (t) dt= O.
= [ < f(t) ,g(t) > ]~-1b < J'(t) ,g(t) > dt.
2.:>.:>1 Soient (a,b) E JR 2 tel que a < b, n E N*,
2.:>.:>2 Calculer fo 1 x (Arctan x )
2 dx.
A E Mn (JR)
symétrique,
X : [a; b] ~ M 11 , 1 (JR) de
2.3.10
La formule de Taylor avec reste intégral,
trés utile en analyse, nécessite un effort
de mémorisation.
Formule de Taylor avec reste intégral
Formule de Taylor avec reste intégral
Soient l un intervalle de Iœ., n E N, f : l -----+ E de classe en sur l et de classe en+ 1
par morceaux sur /, (a ,b) E 1 2 . On a alors :
Preuve
Récurrence sur n.
• La propriété a été déjà vue pour n = 0 (cf. p. 138), puisque, si f est continue sur [a ; b] et de classe C
1
par morceaux sur [a; b], alors :
f(b) = f(a) + 1b f'(t) dt .
•Supposons-la vraie pour un entier n , et soit f : I ~ E de classe cn + i sur I et de classe cn+
2 par
(b _ t)n+I
morceaux sur!. Puisque t ~
est de classe C
1 sur I et que J (n+l)!
classe C
1 par morceaux sur/, on a, à l'aide d'une intégration par parties (cf. 2.3.9 Remarque p. 143):
l
b (b _ t)n
a
n!
J(n+ l)(t) dt= -
1<11+1)(t)
-
-
.
1<11+2)(t) dt
[
(b - t)n+ I
]b lb (b - t)11+ 1
(n+l)!
a
a
(n+l)!
(b - a)n+ I
lb (b t)n + I
- - - - 1 < n+ 1)(a) +
- 1 f(n+2 )(t) dt ,
(n+l)!
a
(n+l).
d'où la propriété au rang n + l .
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