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144
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Exe .... cice-type .... ésolu
Une inégaJité portant sur des intégrales
Soit f : [O; l] -----+ C une application de classe C
1 •
a) Montrer:
'VxE[Ü;l], f(x) = fo
1
f(t)dt+ fo x tf'(t)dt + l'(t-l)J'(t)dt.
b) En déduire :
11 (~) 1 ~ fo' (1JCt)I + ~ lf'(t)I) dt.
Solutio"
a) On a, par intégration par parties :
L' tf' (t) dt= [tf (t>n - L' f(t) dt= xf(x) - l x f(t) dt
et
1
1
(t- l )f
1 (t)dt=[(t- l )f(t) J!-1
1
f(t)dt=-(x - I)f(x)-1
1
f(t)dt ,
puis, en additionnant :
l x tf'(t)dt + 1
1
(! - J)f'(t)dt = f(x) - ( lx J(t)dt + 1' J(t)dt)
= f(x) - Io' f(t) dt ,
d'où l'égalité demandée.
1
b) On applique le résultat précédent à x = 2: :
1 1(~) 1 = l !o' f(t) dt + fo'
12
tf' (t) dt+ 1.;
2
(t _ l)f'(t) dtl
~ l !o' f(t) dtl + l fo'
12
tf' (t) dtl + 11. ;
2
(t - l)f' (t) dtl
l
i
1 1/2
!.'
~
lf(t) I dt +
t lf'(t)I dt+
(1 - t)IJ'(t)I dt
0
0
l p
l
i
1 lol/2
1 J.'
~
IJCt)I dt + -
IJ'Ct)I dt+ -
IJ'Ct) I dt
0
2 0
2 1/2
1
1
1 fo '
=
IJCt)I dt+ -
lf 'Ct) I dt
0
2 0
= 1' ( 1 JCt) I + ~IJ'Ct)I) dt.
Co"seils
La présence des produits tf'(t ) et
(t - I ) f' (t), à l'intérieur d'intégrales dan s
l'énoncé, incite à effectuer des intégrations
par parties.
Relation de Chasles.
Inégalité triangulaire.
Inégalité sur les intégrales.
On a:
1
0 : : : : : : ; t ::::::; -
2
Relation de Chasles.