"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
D
0
u
2.3 • Intégration sur un segment
2.3.27
Calculer les intégrales suivantes :
a) 1'
1
dx
- 1 ,Jr=x+~+2
b) l = ( f
cos x
dx et
Jo .,/1 + sinx cos x
l
'isinx
J = 0 - ---;::===== dx
.,/1 + sinx cosx
1
211
X
c)
dx,
0
cos(x - 8)
2.3.28 a) Soient a E IR~, f : [O; a] -----+ IR~ continue.
Calculer { a
f(t)
dt.
la f (t) + f(a - t)
1
t
(cos t)sint
b) Application : calculer
0
dt.
(cos t)sint +(sin t) 00 st
2.3.29 On note F : ]O; +oo[-----+ IR l'application définie
par:
Vx E]O; +oo[,
l
x ln(l + t)
F(x) =
dt.
1
t
a) Montrer que Fest de classe C
1 sur ]O; + oo[ et:
Vx E]O; +oo[, F(x) + F (~) = ~ (lnx)
2
.
b) En déduire : Vx E]O; + oo[,
l
x _ ln_(x_+ _ t) dt=~ (ln x) 2 + F(x).
1
t
2
2.3.9 Intégration par parties
Le cas le plus fréquent est celui où u et
v sont à valeurs de OC.
Intégration par parties
Soient u : [a; b] ~ JK, v : [a; b] ~ E, de classe C
1 sur [a; b] ; on a alors:
l
[ u'v = [uv]~ - [ uv _'_ . - - - - - - - - -
On étudie, dans cette remarque, une
extension de la Prop.précédente,parfois
utile pour les séries de Fourier.
Bien noter que u, v sont continues sur
[a; b] .
Preuve
[uv]~ = rb(uv)' = rb(u'v+uv') = r bu'v+ r b uv' .
Ja
la
la
la
•
Remarque: La formule précédente est valable plus généralement si u, v sont continues sur
[a; b] et de classe C
1 par morceaux sur [a; b].
En effet, il existe alors une subdivsion (a 0 , .. . ,an) de [a; b] adaptée à u et à v, et on peut
appliquer la Proposition précédente sur chaque [a; ; a;+ 1 ] (0 ~ i ~ n - 1) :
1
a; + 1
1a ; + 1
u'v = [u v]~:'.+ ' -
uv',
~
~
d'où le résultat par sommation sur i de 0 à n - 1.
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