2.3 • Intégration sur un segment
2) • Supposons f lipschitzienne; il existe k E IR+ tel que :
' v'(t1J2) E / 2 , ll f (t1) - f(t2)ll ~ k lt1 - t2lSoit t0 E I ; puisque
'v't E l - \toL Il t ~ to (f (t) - f (to)) Il ~ k ,
on obtient en passant à la limite lorsque t tend vers t 0 :
11 f ' (t 0 ) 11 ~ k.
•Réciproquement, supposons f ' bornée sur l ; il existe k E IR+ tel que:
'v't E / , ll f
1 (t) ll ~ k.
D'après l'inégalité des accroissements finis, on a alors :
'v'(t1 ,t2) E / 2 , ll f(t2) - f(t1) ll ~ lt2 - t1 1 Sup ll f '(t) ll ~ k lt2 - t1 I,
I EJ l1 :t2 J
Exercice 2.3.26.
et donc f est k-l ipschitzienne.
•
Inégalité des accroissements finis
• Pour obtenir des inégalités portant sur des intégrales (ex. 2.3.23, 2.3.24), essayer d' appliquer les propriétés
relatives à l'ordre(§ 2.3 .4) rappelées dans la rubrique « les méthodes à retenir » p. 134, ou appliquer l'inégalité
des accroissements finis.
On remarquera que l'inégalité des accroissements finis pour une fonction à valeurs vectorielles revient à l' inégalité sur intégrales :
11.l/ 3 J'(t)dtll ~ .l
13
11J'(t)lldt
cf. § 2.3.7, preuve du théorème.
2 .3.23
Soient (a ,b) E IR 2 tel que a < b, et f :
[a; b] ---+ tC continue par morceaux.
a) Montrer, pour tout (x , y) de [a; b ]
2 :
l(y - a) 1x f - (x - a) 1Y f i ~ (b - a) 1b lf l.
b) Montrer que, s'il existe (x, y ) E [a; b]
2 tel que
l(y - a) L' f - (x - a) 1Y fi= (b - a) 1b l.fl,
et si f est continue sur [a ; b], alors f = O.
2 .3.24 Soient (a ,b) E IR
2 tel que a < b ,f : [a; b] ---+ tC
continue par morceaux, µ, = -
1 - rb f.
b-a la
Montrer: 'v'(x,À) E [a; b] x C,
11x Cf(t) - µ,) dt l ~ 1b lf(t) - ÀI dt.
2 .3 .25
Soient n EN* , f 1 : [0; l] ---+ E continue,
h , ... J n : [O; 1] ---+ E définies par :
'v'k E {l , . . . ,n - 1), 'v'x E [O; l] , f k+ l (x) =fox f k(l) dt.
On suppose: 'v'x E [O; 1], f1 (x) =lx fn(t ) dt.
Montrer : fi = ... = fn = O.
2 .3.26
Trouver toutes les app lications f : IR ---+ tC
telles qu'il existe a E]l ; +oo[ tel que :
'v'(x ,y ) E IR 2 , If (x) - f (y)I ~ lx - yl" ·
-g
§
(Utiliser l'exercice 2.3.25).
Cl
@
141
2) • Supposons f lipschitzienne; il existe k E IR+ tel que :
' v'(t1J2) E / 2 , ll f (t1) - f(t2)ll ~ k lt1 - t2lSoit t0 E I ; puisque
'v't E l - \toL Il t ~ to (f (t) - f (to)) Il ~ k ,
on obtient en passant à la limite lorsque t tend vers t 0 :
11 f ' (t 0 ) 11 ~ k.
•Réciproquement, supposons f ' bornée sur l ; il existe k E IR+ tel que:
'v't E / , ll f
1 (t) ll ~ k.
D'après l'inégalité des accroissements finis, on a alors :
'v'(t1 ,t2) E / 2 , ll f(t2) - f(t1) ll ~ lt2 - t1 1 Sup ll f '(t) ll ~ k lt2 - t1 I,
I EJ l1 :t2 J
Exercice 2.3.26.
et donc f est k-l ipschitzienne.
•
Inégalité des accroissements finis
• Pour obtenir des inégalités portant sur des intégrales (ex. 2.3.23, 2.3.24), essayer d' appliquer les propriétés
relatives à l'ordre(§ 2.3 .4) rappelées dans la rubrique « les méthodes à retenir » p. 134, ou appliquer l'inégalité
des accroissements finis.
On remarquera que l'inégalité des accroissements finis pour une fonction à valeurs vectorielles revient à l' inégalité sur intégrales :
11.l/ 3 J'(t)dtll ~ .l
13
11J'(t)lldt
cf. § 2.3.7, preuve du théorème.
2 .3.23
Soient (a ,b) E IR 2 tel que a < b, et f :
[a; b] ---+ tC continue par morceaux.
a) Montrer, pour tout (x , y) de [a; b ]
2 :
l(y - a) 1x f - (x - a) 1Y f i ~ (b - a) 1b lf l.
b) Montrer que, s'il existe (x, y ) E [a; b]
2 tel que
l(y - a) L' f - (x - a) 1Y fi= (b - a) 1b l.fl,
et si f est continue sur [a ; b], alors f = O.
2 .3.24 Soient (a ,b) E IR
2 tel que a < b ,f : [a; b] ---+ tC
continue par morceaux, µ, = -
1 - rb f.
b-a la
Montrer: 'v'(x,À) E [a; b] x C,
11x Cf(t) - µ,) dt l ~ 1b lf(t) - ÀI dt.
2 .3 .25
Soient n EN* , f 1 : [0; l] ---+ E continue,
h , ... J n : [O; 1] ---+ E définies par :
'v'k E {l , . . . ,n - 1), 'v'x E [O; l] , f k+ l (x) =fox f k(l) dt.
On suppose: 'v'x E [O; 1], f1 (x) =lx fn(t ) dt.
Montrer : fi = ... = fn = O.
2 .3.26
Trouver toutes les app lications f : IR ---+ tC
telles qu'il existe a E]l ; +oo[ tel que :
'v'(x ,y ) E IR 2 , If (x) - f (y)I ~ lx - yl" ·
-g
§
(Utiliser l'exercice 2.3.25).
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