Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
r:') On étudie, dans cette remarque, une
\_Jj extension du résultat précédent.
Résultat très important pour la pratique.
Ce résultat porte aussi le nom de
«théorème limite de la dérivée"·
'\)J Utilisation d'une fonction auxiliaire.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
140
Le sens le plus utile de 2) est:
si f' est bornée.alors f est lipschitzienne.
Remarque: Le résultat précédent est encore valable si f est continue sur [a; b] et C
1 par
morceaux sur [a; b].
En effet, dans ce cas, il existe n EN* et une subdivision s= (a 0 , ... ,an) de [a; b] tels que,
pour chaque i de {0, ... ,n - !}, fl[a;:a1+iJ est continue sur [a;,a; +il et de classe C 1 sur
]a; ; a;+ 1 [,d'où:
puis en sommant :
llf (b) - f(a)ll ~ ~ llf(a; + 1)-f(a;)ll ~ (~(a;+I -a;)) . ~up llJ'(t)ll
r=O
1=0
IE[ll.b] {llQ , ... ,a,.)
= (b-a)Supllf'Ct) ll.
t
Soit f: [a; b] -----+ E continue sur [a; b] de classe
Si f' admet une limite finie en a, alorsf est C
1 sur [a; b].
Preuve
Notons l = lim f'.
a
Soit s > 0 ; il existe ri > 0 tel que :
'Vt E]a ; a+ ri], llJ'(t) - I l l ~ S .
c' sur ]a; b].
)
L'application g : [a; a+ ri]~ E est continue sur [a; a+ ri], de classe C
1 sur ]a; a+ ri], d'où,
t~ f(t) - 11
d'après le Théorème précédent :
'Vt E [a; a+ ri], llg(t) - g(a)ll ~ (t - a)s.
On a montré:
Vs> 0, :lri > 0, Vt E]a; a+ ri], llf(t) - f(a) - (t - a)lll ~ (t - a)s,
c'est-à-dire :
Vs > 0 , :lri > 0, 'Vt E] a; a+ ri], I l f (t~ =~(a) - /I l ~ s.
Ainsi, f est dérivable en a et f' (a) = l ; finalement, f est de classe C
1 sur [a ; b].
•
Une récurrence immédiate permet d'obtenir le résultat suivant.
Soient k EN*, f: [a; b]-----+ E continue sur [a ; b] et de classe ck sur ]a; b]. Si,
pour tout r de {l , ... ,k },f(r) a une limite finie en a, alorsf est de classe ck sur
[a; b].
Soient I un intervalle de IR, f : I -----+ E de classe C
1 sur I .
1) Pour que f soit constante, il faut et il suffit que : f' = 0.
2) Pour que f soit lipschitzienne, il faut et il suffit que f ' soit bornée sur I ; de plus,
si f' est bornée sur/, alorsf est llf'll 00 -lipschitzienne.
Preuve
1) • Il est clair que, si f est constante, alors f' = 0.
• Réciproquement, si f' = 0 , l'inégalité des accroissements fini s montre que f est constante.
l
r:') On étudie, dans cette remarque, une
\_Jj extension du résultat précédent.
Résultat très important pour la pratique.
Ce résultat porte aussi le nom de
«théorème limite de la dérivée"·
'\)J Utilisation d'une fonction auxiliaire.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
140
Le sens le plus utile de 2) est:
si f' est bornée.alors f est lipschitzienne.
Remarque: Le résultat précédent est encore valable si f est continue sur [a; b] et C
1 par
morceaux sur [a; b].
En effet, dans ce cas, il existe n EN* et une subdivision s= (a 0 , ... ,an) de [a; b] tels que,
pour chaque i de {0, ... ,n - !}, fl[a;:a1+iJ est continue sur [a;,a; +il et de classe C 1 sur
]a; ; a;+ 1 [,d'où:
puis en sommant :
llf (b) - f(a)ll ~ ~ llf(a; + 1)-f(a;)ll ~ (~(a;+I -a;)) . ~up llJ'(t)ll
r=O
1=0
IE[ll.b] {llQ , ... ,a,.)
= (b-a)Supllf'Ct) ll.
t
Soit f: [a; b] -----+ E continue sur [a; b] de classe
Si f' admet une limite finie en a, alorsf est C
1 sur [a; b].
Preuve
Notons l = lim f'.
a
Soit s > 0 ; il existe ri > 0 tel que :
'Vt E]a ; a+ ri], llJ'(t) - I l l ~ S .
c' sur ]a; b].
)
L'application g : [a; a+ ri]~ E est continue sur [a; a+ ri], de classe C
1 sur ]a; a+ ri], d'où,
t~ f(t) - 11
d'après le Théorème précédent :
'Vt E [a; a+ ri], llg(t) - g(a)ll ~ (t - a)s.
On a montré:
Vs> 0, :lri > 0, Vt E]a; a+ ri], llf(t) - f(a) - (t - a)lll ~ (t - a)s,
c'est-à-dire :
Vs > 0 , :lri > 0, 'Vt E] a; a+ ri], I l f (t~ =~(a) - /I l ~ s.
Ainsi, f est dérivable en a et f' (a) = l ; finalement, f est de classe C
1 sur [a ; b].
•
Une récurrence immédiate permet d'obtenir le résultat suivant.
Soient k EN*, f: [a; b]-----+ E continue sur [a ; b] et de classe ck sur ]a; b]. Si,
pour tout r de {l , ... ,k },f(r) a une limite finie en a, alorsf est de classe ck sur
[a; b].
Soient I un intervalle de IR, f : I -----+ E de classe C
1 sur I .
1) Pour que f soit constante, il faut et il suffit que : f' = 0.
2) Pour que f soit lipschitzienne, il faut et il suffit que f ' soit bornée sur I ; de plus,
si f' est bornée sur/, alorsf est llf'll 00 -lipschitzienne.
Preuve
1) • Il est clair que, si f est constante, alors f' = 0.
• Réciproquement, si f' = 0 , l'inégalité des accroissements fini s montre que f est constante.
l