2.3.18 Soient (a ,b) E IR
2 tel que a ~ b, (x,y) E IR* x IR,
z = x + iy. Montrer:
1
-az
- bz 1 ,,- lzl ( - ax
- bx)
e
-e
,,,,- e
-e
.
X
2.3.19 Montrer qu'il existe (A, B) E (IR+) 2 tel que, pour
toute f: [0; l] -----+ Ede classe C
1 :
Sup 1 1.f(t)ll ~ A (' 1 1.f'(t)ll dt+ B (' llf(t)ll dt.
I E [O; I]
lo
lo
2.3.20 a) Soient (a ,b) E IR
2 te. ! que a < b , f :
[a; b] -----+ IR de classe C
1 , g : [a ; b] -----+ IR continue telle
que: Vt E [a; b], g(t) > O. Montrer:
(
2 g(t) dt) (lb (:~t~)
2 dt) .
2.3 • Intégration sur un segment
b) En déduire l'inégalité de Carlson:
"ln EN*, "l(x,, ... ,Xn) E !Rn,
( txk)
4
~ n 2 (txi) ( t (k - ~)\i).
k= t
k=I
k=I
2.3.21 Etudier et représenter graphiquement les fonctions
f suivantes, définies par la donnée de f (x) (x : variable
réelle) :
1
2x
d
a)f(x)=
~
~
t
3
+ t
1
2 x cht
b) f(x) =
-
dt
X
t
x 2 d
c)f(x) = 1 _ t.
X
Jn t
2.3.22 Calculer, pour (x ,y) E JR 2 :
rx+2y
dt
1x- 2y ch t + chx
2.3.7
Inégalité des accroissements finis
Nous étudions ici une généralisation des résultats du § 5.2.2 d' Analyse MPST.
Remarquons d'abord que, si f : [a; b] -----+ E est de classe C
1 sur [a; b], il se peut qu'il n'existe pas d'élément c de ]a; b[ tel que .f(b) - f(a) = (b - a)f'(c) , comme le montre l'exemple:
a = 0 , b = TC ,f : [0; TC] -----+ C.
t t--7 eir
ii' \. Résultat important
Inégalité des accroissements finis
Soient (a,b) E JR; 2 , 11-11 une norme sur E,f: [a; b]-----+ E continue sur [a; b] et de
classe C 1 sur ]a; b[. On suppose qu'il existe À E IR;+ tel que:
-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Puisque f' est continue sur le compact
[a; b ],f' est bornée sur [a; b ],donc
Sup 11J'(t)11 existe.
I E(a;b]
Exercices 2.3.23 à 2.3.25.
l
Vt E]a; b[, llJ' (t)ll ~ À.
j
Alors:
llf(b) - f(a)ll ~ À.lb - al.
Preuve
On a, pour tout (a,f3) de ]a ; b[
2 tel que a ~ f3 :
ll.f(f3) - .f(a)ll = l li p f'(t) dtl l ~ ip ll f'(t) ll dt ~ À(f3-a).
En faisant tendre a vers a et f3 vers b (si a ~ b ), on déduit :
ll f(b) - f(a) ll ~ Àlh - al.
•
Soient (a ,b) E rn; 2 , li· li une norme sur E,f: [a; b]-----+ Ede classe C 1 sur [a; b].
Alors:
llf(b) - f(a)ll ~l b - al Sup llJ'(t)ll.
IE[a ; b]
139
2 tel que a ~ b, (x,y) E IR* x IR,
z = x + iy. Montrer:
1
-az
- bz 1 ,,- lzl ( - ax
- bx)
e
-e
,,,,- e
-e
.
X
2.3.19 Montrer qu'il existe (A, B) E (IR+) 2 tel que, pour
toute f: [0; l] -----+ Ede classe C
1 :
Sup 1 1.f(t)ll ~ A (' 1 1.f'(t)ll dt+ B (' llf(t)ll dt.
I E [O; I]
lo
lo
2.3.20 a) Soient (a ,b) E IR
2 te. ! que a < b , f :
[a; b] -----+ IR de classe C
1 , g : [a ; b] -----+ IR continue telle
que: Vt E [a; b], g(t) > O. Montrer:
(
2 g(t) dt) (lb (:~t~)
2 dt) .
2.3 • Intégration sur un segment
b) En déduire l'inégalité de Carlson:
"ln EN*, "l(x,, ... ,Xn) E !Rn,
( txk)
4
~ n 2 (txi) ( t (k - ~)\i).
k= t
k=I
k=I
2.3.21 Etudier et représenter graphiquement les fonctions
f suivantes, définies par la donnée de f (x) (x : variable
réelle) :
1
2x
d
a)f(x)=
~
~
t
3
+ t
1
2 x cht
b) f(x) =
-
dt
X
t
x 2 d
c)f(x) = 1 _ t.
X
Jn t
2.3.22 Calculer, pour (x ,y) E JR 2 :
rx+2y
dt
1x- 2y ch t + chx
2.3.7
Inégalité des accroissements finis
Nous étudions ici une généralisation des résultats du § 5.2.2 d' Analyse MPST.
Remarquons d'abord que, si f : [a; b] -----+ E est de classe C
1 sur [a; b], il se peut qu'il n'existe pas d'élément c de ]a; b[ tel que .f(b) - f(a) = (b - a)f'(c) , comme le montre l'exemple:
a = 0 , b = TC ,f : [0; TC] -----+ C.
t t--7 eir
ii' \. Résultat important
Inégalité des accroissements finis
Soient (a,b) E JR; 2 , 11-11 une norme sur E,f: [a; b]-----+ E continue sur [a; b] et de
classe C 1 sur ]a; b[. On suppose qu'il existe À E IR;+ tel que:
-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Puisque f' est continue sur le compact
[a; b ],f' est bornée sur [a; b ],donc
Sup 11J'(t)11 existe.
I E(a;b]
Exercices 2.3.23 à 2.3.25.
l
Vt E]a; b[, llJ' (t)ll ~ À.
j
Alors:
llf(b) - f(a)ll ~ À.lb - al.
Preuve
On a, pour tout (a,f3) de ]a ; b[
2 tel que a ~ f3 :
ll.f(f3) - .f(a)ll = l li p f'(t) dtl l ~ ip ll f'(t) ll dt ~ À(f3-a).
En faisant tendre a vers a et f3 vers b (si a ~ b ), on déduit :
ll f(b) - f(a) ll ~ Àlh - al.
•
Soient (a ,b) E rn; 2 , li· li une norme sur E,f: [a; b]-----+ Ede classe C 1 sur [a; b].
Alors:
llf(b) - f(a)ll ~l b - al Sup llJ'(t)ll.
IE[a ; b]
139