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Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
• lb f = 0 si a = b
•lb f = -1a f si a > b et sif : [b; a] -----+ E est continue par morceaux.
Relation de Chasles
_....__
Formule importante.
Soient (a,b,c) E JR
3 ,June application à valeurs dans E et continue par morceaux sur
un segment contenant a,b,c. On a:
Dans cette formule, les réels a, b, c ne
sont pas nécessairement en ordre
croissant.
Exercices 2.3.9 à 2.3.15.
éthodes à retenir
Intégration des applications continues par morceaux sur un segment
• Pour obtenir des inégalités portant sur des intégrales (ex. 2.3.6, 2.3.7), essayer d'appliquer les propriétés relatives à l'ordre:
•
- si a ~ b et si f, g : [a; b] -----+ lR sont continues par morceaux et vérifient f ~ g, alors :
- si a ~ b et sif : [a; b]-----+ OC est continue par morceaux, alors:
- si a ~ b et si f,g : [a; b] -----+ OC sont continues par morceaux, alors (inégalité de Cauchy et Schwarz) :
Pour trouver une limite d'intégrales (réelles), on peut essayer de majorer, minorer ou encadrer ces intégrales,
en partant souvent d'un encadrement de la fonction à intégrer .
Si l' intervalle d'intégration varie, on pourra introduire un équivalent de la fonction située dans l'intégrale, et étudier la différence des intégrales (ex. 2.3.11).
On peut, dans certains cas, décomposer avec profit l' intervalle d' intégration et procéder à des majorations de
natures différentes sur ces divers intervalles (ex. 2.3 .12, 2.3.14,).
Voir aussi, plus globalement, l'utilisation du théorème de convergence dominée (ch. 5).
Un changement de variable permet éventuellement de se ramener à une intégrale dont les bornes sont fixes. Une
intégration par partie permet éventuellement de renforcer la convergence de l'intégrale étudiée, et est souvent utile
pour obtenir un développement asymptotique de l'intégrale.
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Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
• lb f = 0 si a = b
•lb f = -1a f si a > b et sif : [b; a] -----+ E est continue par morceaux.
Relation de Chasles
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Formule importante.
Soient (a,b,c) E JR
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croissant.
Exercices 2.3.9 à 2.3.15.
éthodes à retenir
Intégration des applications continues par morceaux sur un segment
• Pour obtenir des inégalités portant sur des intégrales (ex. 2.3.6, 2.3.7), essayer d'appliquer les propriétés relatives à l'ordre:
•
- si a ~ b et si f, g : [a; b] -----+ lR sont continues par morceaux et vérifient f ~ g, alors :
- si a ~ b et sif : [a; b]-----+ OC est continue par morceaux, alors:
- si a ~ b et si f,g : [a; b] -----+ OC sont continues par morceaux, alors (inégalité de Cauchy et Schwarz) :
Pour trouver une limite d'intégrales (réelles), on peut essayer de majorer, minorer ou encadrer ces intégrales,
en partant souvent d'un encadrement de la fonction à intégrer .
Si l' intervalle d'intégration varie, on pourra introduire un équivalent de la fonction située dans l'intégrale, et étudier la différence des intégrales (ex. 2.3.11).
On peut, dans certains cas, décomposer avec profit l' intervalle d' intégration et procéder à des majorations de
natures différentes sur ces divers intervalles (ex. 2.3 .12, 2.3.14,).
Voir aussi, plus globalement, l'utilisation du théorème de convergence dominée (ch. 5).
Un changement de variable permet éventuellement de se ramener à une intégrale dont les bornes sont fixes. Une
intégration par partie permet éventuellement de renforcer la convergence de l'intégrale étudiée, et est souvent utile
pour obtenir un développement asymptotique de l'intégrale.