1
Rappelons (cf. Algèbre MPSI, 1.3.1
\J.._. Exemple 5)) que XK est la fonction
caractéristique de K:
XK: J -----+ IK
{
1 si t E K
t~
OsitiiK
\ 1 L'application XK f est le produit de XK
i._:..... etdef
0 L'utilisation de XK n'est qu'un artifice,
L/J au programme mais quasiment inutile.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D o.
0
u
Relation de Chasles pour le cas où les
bornes sont dans l'ordre.
2.3 • Intégration sur un segment
Si Cfn)nEN converge uniformément versf sur [a; b], alors (fn)nEN converge versf en
moyenne quadratique.
Preuve
Il suffit de remarquer que, pour tout n de N :
1
lfn - fl
2
~ (b - a)ll fn - fll~.
[a;b]
•
Si Cfn)nEN converge versf en moyenne quadratique, alors Cfn)nEN converge versf en
moyenne.
Preuve
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à If,, - f 1 et 1 :
3) Relation de Chasles
Soit Kun segment inclus dans J = [a; b]. Pour toute application! : J -----+ E continue par morceaux sur J, l'application XK f est continue par morceaux sur J, et:
LtlK ~ lxKf
J
Preuve
Il existe une suite (en)nE N d'applications en escalier convergeant uniformément vers f sur J. Il est clair
que (en 1 K )nEN est une suite d'applications en escalier sur K convergeant uniformément vers f 1 K sur K,
que (XK en )nEN est une suite d'applications en escalier sur J convergeant uniformément vers x K f sur J,
car:
Sup ICXK f)(t) - (xKe11)(t)I ~ Sup lf(t) - en(t)I,
! El
/ El
et que, pour tout n de N :
Le résultat s'en déduit en faisant tendre n vers l'infini.
•
r ' ·"§ m:nr 1
~......_~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~----.. ,
l
Soient (a ,b,c) E JR 3 tel que a < b < c, etf: [a; c] -----+ E continue par morceaux.
Alors les restrictions de f à [a; b] et à [b; c] sont continues par morceaux et on a :
Preuve
Appliquer la Prop. précédente en remarquant :
J
X[a:c] = X[":b] + X]b:c]·
•
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