Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Rappel de notation :
llf lloo = Sup llf(t)l l.
IE(a:b)
Exercices 2.3.6 à 2.3.8.
On considère ici une combina ison
linéaire bien choisie de f et g . Il existe
d'autres méthodes de démonstration de
l'inégalité de Cauchy et Schwarz.
~ Remarquer la présence du carré du
module à l'intérieur de l'intégrale.
132
1
Soient Un)neN une suite d'applications continues par morceaux de [a; b] dans E , et
f une application continue par morceaux de [a; b] dans E. On dit que Un)n eN
converge en moyenne vers f si et seulement si :
[
llfn - !Il-----* o.
J
lra:b]
noo
.
Si (f 11 ) 11 eN converge uniformément vers f sur [a; b], alors Un)n eN converge en
moyenne vers f
Preuve
Il suffit de remarquer que, pour tout n de N :
1
ll f n - f ll ~ (b - a)llfn - f lloo·
[a ;bJ
Remarque: En notant, pourf E C([a; b], E), 1 1 11 11 = j 11111 , on a:
[a ;bJ
V f E C([a; b],E), ll f ll 1 ~ (b - a) ll fl looInégalité de Cauchy-Schwarz
Sif,g: [a; b] ----+ C sont continues par morceaux, alors:
b
2
b
b
1 fg ~ (11t1
2
)(11g1
2
)Preuve
•
Notons f3 = {b fg E C, y= {b lgl 2 E IR+ , et considérons h = yf -/Jg, qui est continue par
la
la
morceaux sur [a; b]. On a:
0 ~ lb lhl
2 = IYl
2 1b111
2 - 2Ré (y7J lb f g) + lf3 1
2
1b lgl
2
= Y
2
1b If 1
2
- 21f31
2 Y + lf3 1
2 Y = y (y lb If 1
2
- lf3 1
2
) .
Si y# 0, il s'ensuit y lb lf l
2 - lf31
2
~ 0, d'où l'inégalité voulue.
Si y = 0 , alors, comme lgl
2 est continue par morceaux et ~ 0, g est nulle sauf au plus en un nombre fini
de points de [a ; b ], donc 7 g aussi, et lb 7 g = 0 , d'où l'inégalité voulue, trivialement.
•
Soient Un)neN une suite d'applications continues par morceaux de [a; b] dans C, et
f une application continue par morceaux de [a; b] dans C. On dit que Un)n eN
converge en moyenne quadratique vers f si et seulement si :
f . lfn - f 1
2 -----* O.
J
J[a ;b]
n oo
- -