-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
2.3 • Intégration sur un segment
Exercices
2.3.6 Soit f : [O; 1] -----+ IR continue telle que 1
1
f = 0.
On notem = Inf(f), M = Sup(f).
Montrer: 1
1
/
2
~ -mM (oùf
2 = ff).
2.3. 7 Soient f ,g : [0; l] -----+ IR continues telles que :
11 (f2 + g 2 + 2f2g 2) = 211 (f + g)fg ,
f =/= 0 , g =/= O.
2.3.10 Déterminer lim ~ ( L ~).
noo n l< i
dt.
1
2x
et
x--> o+ x Arcs in t
2.3.12 Déterminer lim ( f (sin tr dt.
x -->o+ lo
Montrer f = g = 1.
2.3.8
Soient (a ,b) E JR
2
tel que a < b, n EN*,
2.3.13 Soient a E [0; 1 [ ,f : [0; l] -----+ E continue.
Déterminer lim [' f(ant) dt.
noo Jo
/ 1 , ••• ,Jn : [a; b] -----+
2.3.14 Soient f: [0; l]-----+
lim x a- i
- f(t) dt.
1
1 1
x-->o+
x ta
2.3.9 Soient f : IR -----+ IR uniformément continue, et,
pour tout n de N* , fn : IR -----+ IR définie par :
2.3.15 Soient (a ,b) E IR
2 tel que a < b , f: [a ; b]-----+ E
r +l
\lx E lR, fn(X) = n lx "f.
continue par morceaux.
Déterminer lim lb lsin(xt) lf (t) dt.
Montrer que Cfn )n converge uniformément vers f sur IR .
x--> + oo a
2.3.5
Sommes de Riemann
Dans ce§ 2.3.5, (a ,b) désigne un couple de réels tel que a < b.
Soient f : [a ; b] -----+ E continue, s = (ao, ... ,an) ES, et, pour chaque i de
{O, ... ,n - l}, Si un élément de [a;; ai+ I]. On appelle somme de Riemann associée
n - 1
à f, s, (si)O.;; i .;;n - 1 l'élément L(a;+ 1 - a;)f(s;) de E.
i=O
On montre, comme dans Analyse MPSI, 6.2.7 Théorème, le résultat suivant.
_ _ J
Soit/: [a ; b] -----+ E continue.
l
Les sommes de Riemann relatives à/ convergent toutes vers 1b f lorsque le pas de
la subdivision tend vers 0, c'est-à-dire :
a
pour tout & > 0, il existe a > 0 tel que, pour toute subdivision s = (ao, ... ,an) de
\ 'j L .epasdelasubdivision (ao •... ,a,,) de
\..;..-' [a; b] est, par définition :
[a; b] de pas ~ a et pour toute famille (sJo.;;i .;;n - 1 telle que (Vi E {O, . .. ,n - 1},
si E [a;; a;+ 1D, on ait: 1b f - Ï:cai+ 1 - a;)f(s;) ~ &.
Max (a;+ 1 -a;).
O~ i ~n -1
i=O
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0
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.s::
Ol
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>- 0.
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2.3 • Intégration sur un segment
Exercices
2.3.6 Soit f : [O; 1] -----+ IR continue telle que 1
1
f = 0.
On notem = Inf(f), M = Sup(f).
Montrer: 1
1
/
2
~ -mM (oùf
2 = ff).
2.3. 7 Soient f ,g : [0; l] -----+ IR continues telles que :
11 (f2 + g 2 + 2f2g 2) = 211 (f + g)fg ,
f =/= 0 , g =/= O.
2.3.10 Déterminer lim ~ ( L ~).
noo n l< i
dt.
1
2x
et
x--> o+ x Arcs in t
2.3.12 Déterminer lim ( f (sin tr dt.
x -->o+ lo
Montrer f = g = 1.
2.3.8
Soient (a ,b) E JR
2
tel que a < b, n EN*,
2.3.13 Soient a E [0; 1 [ ,f : [0; l] -----+ E continue.
Déterminer lim [' f(ant) dt.
noo Jo
/ 1 , ••• ,Jn : [a; b] -----+
2.3.14 Soient f: [0; l]-----+
lim x a- i
- f(t) dt.
1
1 1
x-->o+
x ta
2.3.9 Soient f : IR -----+ IR uniformément continue, et,
pour tout n de N* , fn : IR -----+ IR définie par :
2.3.15 Soient (a ,b) E IR
2 tel que a < b , f: [a ; b]-----+ E
r +l
\lx E lR, fn(X) = n lx "f.
continue par morceaux.
Déterminer lim lb lsin(xt) lf (t) dt.
Montrer que Cfn )n converge uniformément vers f sur IR .
x--> + oo a
2.3.5
Sommes de Riemann
Dans ce§ 2.3.5, (a ,b) désigne un couple de réels tel que a < b.
Soient f : [a ; b] -----+ E continue, s = (ao, ... ,an) ES, et, pour chaque i de
{O, ... ,n - l}, Si un élément de [a;; ai+ I]. On appelle somme de Riemann associée
n - 1
à f, s, (si)O.;; i .;;n - 1 l'élément L(a;+ 1 - a;)f(s;) de E.
i=O
On montre, comme dans Analyse MPSI, 6.2.7 Théorème, le résultat suivant.
_ _ J
Soit/: [a ; b] -----+ E continue.
l
Les sommes de Riemann relatives à/ convergent toutes vers 1b f lorsque le pas de
la subdivision tend vers 0, c'est-à-dire :
a
pour tout & > 0, il existe a > 0 tel que, pour toute subdivision s = (ao, ... ,an) de
\ 'j L .epasdelasubdivision (ao •... ,a,,) de
\..;..-' [a; b] est, par définition :
[a; b] de pas ~ a et pour toute famille (sJo.;;i .;;n - 1 telle que (Vi E {O, . .. ,n - 1},
si E [a;; a;+ 1D, on ait: 1b f - Ï:cai+ 1 - a;)f(s;) ~ &.
Max (a;+ 1 -a;).
O~ i ~n -1
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