,,
L'application (f) n'est autre que
\J_, o f; la notation (f) est choisie ici
pour meure en évidence un parallélisme
entre les Théorèmes 2 et 3.
g Dérivée d'un produit scalaire.
'fJ Dérivée du carré d'une norme.
~ Dérivée d'un produit vectoriel.
"'O
0
c
::J
~
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Usage fréquent.
L'importance de ce théorème apparaîtra
lors de l'étude des équations différentielles, cf. ch. 8.
2.2 • Dérivation
Soient E, F deux JK-evn de dimensions finies, sur l .
L'application est dérivable sur l et :
ti----+(f(t))
( Soient E,F,G trois JK-evn de dimensions finies, B: Ex F--+G une application
bilinéaire, f : l ----+ E , g : 1 ----+ F dérivables sur l.
Alors l'application B(f,g) : l ----+ G
est dérivable sur let:
ti----+ B(f (t) ,g(t))
(B(f,g))
1 = B(f' ,g) + B(f,g' ).
1) Si (E,(. 1 .)) est un espace vectoriel euclidien ou hermitien et si f,g: 1----+ E
sont dérivables sur l , alors (f 1 g) : l ----+ lK
est dérivable sur l et :
tl----+ (f (t) lg(t))
(f 1 g )' = (f' 1 g) + (f 1 g' ).
2) En particulier, si ( E, (. 1 . ) ) est un espace vectoriel euclidien ou hermitien et si
f : l ----+ E est dérivable sur I , alors 11f11 2 : I ----+ IR
est dérivable
sur I et:
ti----+ llf(t)ll
2 =(f(t)lf(t))
(11/11
2 )' = 2 Ré(f 1 / ').
3) Si E est un IR-ev euclidien orienté de dimension 3 et si f,g : I ----+ E sont dériJ
vables sur l, alors f /\ g : I ----+ E
est dérivable sur l et :
ti----+ f (t) /\ g(t)
J
(f /\ g )' = f ' /\ g + f /\ g' .
Remarque: Soient (E,(.I.)) un espace euclidien, 11 -11 la norme associée à (.1.), e: l-----+ E
dérivable sur !.
Si:
Y/t E /, lle(t)ll = 1,
alors:
Y/t E /, e' (t) ..l e(t).
Dérivée d'une composée
Soient l , J deux intervalles de IR,/ E IR
1 , g E E 1 telles que f (l) C J.
On note (abusivement) g o f: l ----+ E . Si/ est dérivable sur I et g dérivable sur
tl----+ g (f (t))
Î
J, alors g o f est dérivable sur I et :
l _ _
(g 0 f)' = J' . (g' 0 f).
_J
Caractérisation des applications constantes parmi
0
les applications continues sur l et dérivables sur l)
0
Soit f : l ----+ E continue sur I et dérivable sur l . Pour que f soit constante, il faut
et il suffit que :
0
'Vt El , J' (t) = O. _ _ _ _ _ J
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L'application (f) n'est autre que
\J_, o f; la notation (f) est choisie ici
pour meure en évidence un parallélisme
entre les Théorèmes 2 et 3.
g Dérivée d'un produit scalaire.
'fJ Dérivée du carré d'une norme.
~ Dérivée d'un produit vectoriel.
"'O
0
c
::J
~
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Usage fréquent.
L'importance de ce théorème apparaîtra
lors de l'étude des équations différentielles, cf. ch. 8.
2.2 • Dérivation
Soient E, F deux JK-evn de dimensions finies, sur l .
L'application est dérivable sur l et :
ti----+(f(t))
( Soient E,F,G trois JK-evn de dimensions finies, B: Ex F--+G une application
bilinéaire, f : l ----+ E , g : 1 ----+ F dérivables sur l.
Alors l'application B(f,g) : l ----+ G
est dérivable sur let:
ti----+ B(f (t) ,g(t))
(B(f,g))
1 = B(f' ,g) + B(f,g' ).
1) Si (E,(. 1 .)) est un espace vectoriel euclidien ou hermitien et si f,g: 1----+ E
sont dérivables sur l , alors (f 1 g) : l ----+ lK
est dérivable sur l et :
tl----+ (f (t) lg(t))
(f 1 g )' = (f' 1 g) + (f 1 g' ).
2) En particulier, si ( E, (. 1 . ) ) est un espace vectoriel euclidien ou hermitien et si
f : l ----+ E est dérivable sur I , alors 11f11 2 : I ----+ IR
est dérivable
sur I et:
ti----+ llf(t)ll
2 =(f(t)lf(t))
(11/11
2 )' = 2 Ré(f 1 / ').
3) Si E est un IR-ev euclidien orienté de dimension 3 et si f,g : I ----+ E sont dériJ
vables sur l, alors f /\ g : I ----+ E
est dérivable sur l et :
ti----+ f (t) /\ g(t)
J
(f /\ g )' = f ' /\ g + f /\ g' .
Remarque: Soient (E,(.I.)) un espace euclidien, 11 -11 la norme associée à (.1.), e: l-----+ E
dérivable sur !.
Si:
Y/t E /, lle(t)ll = 1,
alors:
Y/t E /, e' (t) ..l e(t).
Dérivée d'une composée
Soient l , J deux intervalles de IR,/ E IR
1 , g E E 1 telles que f (l) C J.
On note (abusivement) g o f: l ----+ E . Si/ est dérivable sur I et g dérivable sur
tl----+ g (f (t))
Î
J, alors g o f est dérivable sur I et :
l _ _
(g 0 f)' = J' . (g' 0 f).
_J
Caractérisation des applications constantes parmi
0
les applications continues sur l et dérivables sur l)
0
Soit f : l ----+ E continue sur I et dérivable sur l . Pour que f soit constante, il faut
et il suffit que :
0
'Vt El , J' (t) = O. _ _ _ _ _ J
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