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Chapitre 2 • Fonction s vectorielles d'une variable réelle
Preuve
Puisque E est de dimension fini e, E admet au moins une base B = (e1,. .. ,eN ). Les applications corn0
posantes fj : l ----* lK (1 :;;:;; j :;;:;; N) de f sont continues sur l et dérivables sur l .
Si lK = IR, d'après Analyse MPSI, 5.3. l, on a, schématiquement :
(f constante) <===? (V j E { 1,. .. , N }, fj constante)
<===? (vj E {l , .. . ,N }, Vt E I , Jj (t ) = o)
<===? (Vt El, f
1 (t)=0).
Exercices 2.2.1 à 2.2.4.
Si lK = C, le résultat voulu et aussi valable, par la considération de Ré (fj ) et Im(fj ) , 1 :;;:;; j :;;:;; N.
Exemple de dérivabilité en deux points
Soit f : IR ----* C une application. On note :
f(x) - 4
g : IR ----* C, x t---+ g (x) = x2 - Sx + 6
On suppose que f est continue en 2 et en 3, et que :
g(x ) ----* 1
X ---+ 2
et
g (x ) ----* 2.
X ---+ 3
Montrer que f est dérivable en 2 et en 3, et calculer f (2), f (3), f' (2) , f' (3) .
Solution
•On a, pour tout x E IR - {2,3} :
f (x ) - 4 = g(x)(x
2
- Sx + 6) .
Comme g(x ) ----* 1 et g(x) ----* 2 , on déduit :
x----+ 2
x--+3
f (x ) - 4 ----* 0 et f (x) - 4 ----* 0,
x --+ 2
x--+3
d 'où, puisque f est continue en 2 et en 3 :
f (2) = 4 et f (3) = 4.
•On a :
f (x ) - 4
- - - = g (x ) (x - 3) ----* - 1,
x - 2
x--+ 2
donc, par définition, f est dérivable en 2 et f' (2) = - 1.
De même:
f (x ) - 4
- - - = g (x )(x - 2) ----* 2,
x - 3
x--+ 3
donc f est dérivable en 3 et f' (3) = 2.
Conseils
Puisque f est continue en 2 et en 3, on a :
f (x) ____... f (2) et f (x) ____... f (3) .
x-+2
x-+3
On remarque la factorisation :
x 2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).