Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
'J Dérivée du carré d'une norme.
'J Dérivée d'un produit vectoriel.
'
lJ 0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s:::
Ol
·;:::.>- o.
0
u
112
lci,f est à valeurs réelles,g est à valeurs
vectorielles.
Usage fréquent.
2.2.3
Ainsi,
Def(f') = {t E l; f est dérivable
en t },etf': Def(f') ---+ E.
t t---+ J' (1)
Pour tout t E / , f'(t) existe si et
seulement si chacun des f J (t) existe,
j E {!, . .. ,N ) .
Autrement dit, f : 1 ---+ E est
dérivable sur l si et seulement si
Def(f') = 1.
Ici, a est un scalaire fixé, À est une
fonction à valeurs scalaires
2) En particulier, si (E, (.1.)) est un espace euclidien ou hermitien et sif: I ----+ E
est dérivable en a, alors 11f11 2 : l ----+ IR.
est dérivable en a et :
ti----+ 11! (t) l 1
2 =U (t) 1 f (t))
(llfll
2 )'(a) = 2 Ré(f(a) 1 J'(a)).
3) Si E est un espace vectoriel euclidien réel de dimension 3 orienté, et si f,g
l ----+ E sont dérivables en a, alors f /\ g : l ----+ E
est dérivable en a et :
(!----+ f (t)f\g(t)
l
(f /\ g)'(a) = f '(a) /\ g(a) + f(a) /\ g'(a).
Dérivée d'une composée
Soient l,J deux intervalles de IR., a E /,f E IR. 1 , g E E 1 telles quef(/) c J. On note
(abusivement) go f: I ----+ E .
t !----+ g (f (t))
Sif est dérivable en a et g dérivable enf(a) , alors go f est dérivable en a et:
L
(g o f) ' (a) = J'(a)g'(f(a)).
Preuve
Analogue à celle du Th. 2 de 5.1.2 d' Analyse MPSI.
•
Application dérivée
Soitf E E
1 ; on appelle dérivée de f, et on note f ', l'application qui, à chaque t de l
tel que f ' (t) existe, associe f' (t).
df
Au lieu def', on peut noter Df, D1f ou - .
dt
Remarque:
Si E est muni d'une base B, en notant f1,. .. .fN les applications composantes de f dans B,
on a:
N
Def(f') = n Def(fj).
j=I
On dit qu'une application f : l ----+ E est dérivable sur l si et seulement si, pour
tout t de I ,f est dérivable en t.
Les résultats suivants se déduisent aisément de 2.2.2 p. 110 .
Soient a E IK, À : l ----+ IK, f ,g : I ----+ E. On suppose que À, f, g sont dérivables l
sur I. Alors :
1) f + g est dérivable sur l
et (f + g )' = f ' + g'
2) af est dérivable sur l
et (af)' = af'
3) Àf est dérivable sur l
et (Àf)
1 = À
1 f + Àf
1
1
( 1 ) '
4) Si 0/a E /, À(a) =!= 0), alors À: l----+ IK est dérivable sur let À =