-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
102
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Si E = JR, la courbe représentative de
J est symétrique de celle de f par
rapport à la droite y' y,deuxième axe du
repère.
2.1.3
Exemple d'une fonction à valeurs
matricielles, périodique.
Remarquer que T ne dépend pas de j.
Remarque: Si E est muni d'une base B, en notant f 1 , • • • .f N les applications composantes
def dans B,on a:
f paire{:::::::} (V'j E {l , ... , N}, fj paire)
f impaire{:::::::} (V'j E {l, ... ,N), fj impaire).
Notons Px (resp. lx) l'ensemble des applications paires (resp. impaires) de X dans E. La proposition suivante est immédiate.
Px et lx sont des IK-sev de Ex, supplémentaires dans Ex:
Ex= Px EB lx.
Pour toute f de Ex, on note J : X -----+ E
t !-------+ f ( -t)
On a, pour tous À E IK , f,g E Ex :
f =f, (f+g)v=f+g ,
Si, de plus E = OC : (f g)v = Jg.
Périodicité
Nous généralisons ici l'étude du § 4.1.4 d' Analyse MPSI.
Soit! E Ex.
1) Soit T E JR+ ; on dit que f est T-périodique si et seulement si :
Vt EX, {
t+TEX
f (t + T) = f (t) .
On dit alors que Test une période de f
2) On dit que f est périodique si et seulement s'il existe T E JR+ tel que f soit
T-périodique.
Exemples:
2rr
1) Soit w E JR~ ; l'application lR ---+
ûJ
2) L'application f : lR ---+ M 3 (JR) définie par :
V't E JR, f(t) = (-si:~s~ost :~::t
sin
2 t
-sin t cos t
est 2rr-périodique .
J
Remarque: Si f est périodique et si T1, T 2 sont des périodes de f, alors T1 + T 2 est une période def.
En particulier, si Test une période de f, alors, pour tout k de N*, kT est période de f.
La proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B.
Soient T E JR+, f E Ex, f1, ... .f N les applications composantes de f dans B.
On a:
(f T-périodique) {:::::::} (Vj E {l, ... , N}, fj T-périodique) . __J
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Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Si E = JR, la courbe représentative de
J est symétrique de celle de f par
rapport à la droite y' y,deuxième axe du
repère.
2.1.3
Exemple d'une fonction à valeurs
matricielles, périodique.
Remarquer que T ne dépend pas de j.
Remarque: Si E est muni d'une base B, en notant f 1 , • • • .f N les applications composantes
def dans B,on a:
f paire{:::::::} (V'j E {l , ... , N}, fj paire)
f impaire{:::::::} (V'j E {l, ... ,N), fj impaire).
Notons Px (resp. lx) l'ensemble des applications paires (resp. impaires) de X dans E. La proposition suivante est immédiate.
Px et lx sont des IK-sev de Ex, supplémentaires dans Ex:
Ex= Px EB lx.
Pour toute f de Ex, on note J : X -----+ E
t !-------+ f ( -t)
On a, pour tous À E IK , f,g E Ex :
f =f, (f+g)v=f+g ,
Si, de plus E = OC : (f g)v = Jg.
Périodicité
Nous généralisons ici l'étude du § 4.1.4 d' Analyse MPSI.
Soit! E Ex.
1) Soit T E JR+ ; on dit que f est T-périodique si et seulement si :
Vt EX, {
t+TEX
f (t + T) = f (t) .
On dit alors que Test une période de f
2) On dit que f est périodique si et seulement s'il existe T E JR+ tel que f soit
T-périodique.
Exemples:
2rr
1) Soit w E JR~ ; l'application lR ---+
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2) L'application f : lR ---+ M 3 (JR) définie par :
V't E JR, f(t) = (-si:~s~ost :~::t
sin
2 t
-sin t cos t
est 2rr-périodique .
J
Remarque: Si f est périodique et si T1, T 2 sont des périodes de f, alors T1 + T 2 est une période def.
En particulier, si Test une période de f, alors, pour tout k de N*, kT est période de f.
La proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B.
Soient T E JR+, f E Ex, f1, ... .f N les applications composantes de f dans B.
On a:
(f T-périodique) {:::::::} (Vj E {l, ... , N}, fj T-périodique) . __J