Dans cet exemple, la non-périodicité
det vient de ce que-12. est irrationnel.
1
Revoir la définition de sous-groupe,
\J_, cf. Algèbre MPSI § 2.2.2 1 ).
Généralisation de la notion de période
d'une application périodique.
2.1 • Généralités
Remarque : Si N ~ 2 et si les applications composantes f 1 , ... JN de f admettent des
périodes T 1 , • •• , T N respectivement, il se peut que f ne soit pas périodique. Exemple : N = 2,
fi : IR-----+ IR,h: IR-----+ IR
,f: IR-----+ IR 2
t~cost
t~cos(t.)2)
t~(cost,cos(t.J2))
Soient T E IR~ et X E ~(IR) telle que: Vt E X, t + T E X.
L'ensemble des applications T-périodiques de X dans E est un JK-sev de Ex. De plus,
si À : X -----+ lK et/ : X -----+ E sont T-périodiques, alors Àf est T-périodique.
Preuve
Les vérifications suivantes sont immédiates :
• 0: X -----+ E est T-périodique
t r--+ 0
•Si f,g : X -----+ E sont T-périodiques et si a E IK, alors af + g est T-périodique
•Si À : X -----+ IK et f : X -----+ E sont T-périodiques, alors Àf est T-périodique.
Groupe de périodes
•
Soit f E E R. L'ensemble Pt = { r E IR; 'Vt E IR, f (t + r) = f (t)} est un sousgroupe de IR :
• 0 E Pt
•V(r1 ,r2) E (Pt)
2 , T] +r2 E Pt
• Vr E Pt, -r E Pf
En particulier: Vr E Pt, Vx E IR, Vk E Z, f(x + kr) = f(x).
L'application f est périodique si et seulement si Pt =j:. {O} ; dans ce cas, on appelle
période de/tout élément de Pt - {O}. Ainsi,fpeut admettre des périodes< O.
Exemple:
2n
Pour w E IR+ fixé, l'application f : IR -----+ C est périodique et Pj = - 1:: .
t r--+ e'wt
w
2.1.2 Soit f : IR -----+ IR une application telle que :
(
'V x E IR, f (x) # Ü
V XE IR, f(x) = f(x + l)f(x - 1).
Montrer que f est périodique.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
2.1.4
Applications bornées
@
...._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
8 ~\ M ne doit pas dépendre de t.
l
Nous généralisons ici l'étude du § 4.1.8 d' Analyse MPSI.
Une application f : X -----+ E est dite bornée si et seulement s'il existe M E IR+ tel
que:
'Vt EX, llf(t)ll ~ M.
Remarques:
1 )f est bornée si et seulement si f (X) est une partie bornée de E (cf. 1.1.3 Déf. 2 p. 14).
2)f est bornée si et seulement si Il! Il : X -----+ IR est majorée (cf. Analyse MPSI, 4.1.8 Déf.).
t ~l l t(t)ll
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det vient de ce que-12. est irrationnel.
1
Revoir la définition de sous-groupe,
\J_, cf. Algèbre MPSI § 2.2.2 1 ).
Généralisation de la notion de période
d'une application périodique.
2.1 • Généralités
Remarque : Si N ~ 2 et si les applications composantes f 1 , ... JN de f admettent des
périodes T 1 , • •• , T N respectivement, il se peut que f ne soit pas périodique. Exemple : N = 2,
fi : IR-----+ IR,h: IR-----+ IR
,f: IR-----+ IR 2
t~cost
t~cos(t.)2)
t~(cost,cos(t.J2))
Soient T E IR~ et X E ~(IR) telle que: Vt E X, t + T E X.
L'ensemble des applications T-périodiques de X dans E est un JK-sev de Ex. De plus,
si À : X -----+ lK et/ : X -----+ E sont T-périodiques, alors Àf est T-périodique.
Preuve
Les vérifications suivantes sont immédiates :
• 0: X -----+ E est T-périodique
t r--+ 0
•Si f,g : X -----+ E sont T-périodiques et si a E IK, alors af + g est T-périodique
•Si À : X -----+ IK et f : X -----+ E sont T-périodiques, alors Àf est T-périodique.
Groupe de périodes
•
Soit f E E R. L'ensemble Pt = { r E IR; 'Vt E IR, f (t + r) = f (t)} est un sousgroupe de IR :
• 0 E Pt
•V(r1 ,r2) E (Pt)
2 , T] +r2 E Pt
• Vr E Pt, -r E Pf
En particulier: Vr E Pt, Vx E IR, Vk E Z, f(x + kr) = f(x).
L'application f est périodique si et seulement si Pt =j:. {O} ; dans ce cas, on appelle
période de/tout élément de Pt - {O}. Ainsi,fpeut admettre des périodes< O.
Exemple:
2n
Pour w E IR+ fixé, l'application f : IR -----+ C est périodique et Pj = - 1:: .
t r--+ e'wt
w
2.1.2 Soit f : IR -----+ IR une application telle que :
(
'V x E IR, f (x) # Ü
V XE IR, f(x) = f(x + l)f(x - 1).
Montrer que f est périodique.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
2.1.4
Applications bornées
@
...._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
8 ~\ M ne doit pas dépendre de t.
l
Nous généralisons ici l'étude du § 4.1.8 d' Analyse MPSI.
Une application f : X -----+ E est dite bornée si et seulement s'il existe M E IR+ tel
que:
'Vt EX, llf(t)ll ~ M.
Remarques:
1 )f est bornée si et seulement si f (X) est une partie bornée de E (cf. 1.1.3 Déf. 2 p. 14).
2)f est bornée si et seulement si Il! Il : X -----+ IR est majorée (cf. Analyse MPSI, 4.1.8 Déf.).
t ~l l t(t)ll
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