0 f /\ g désigne ici une fonction.
En confondant E (muni de la base B) et
JK". Pj est la j--ème projection.
2.1 • Généralités
On vérifie aisément les formules suivantes, pour tous À E OC,f,g ,g1 ,g2 E Ex:
5) Lorsque E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, pourf,g E Ex,
on note f /\ g : X -----+ E l'application définie par :
Vt EX, (f /\ g)(t) = f(t) /\ g(t).
On vérifie aisément les formules suivantes, pour tous À E JR ,f,g,g1 ,g2 E Ex:
3) Applications composantes
Supposons que E soit muni d'une base B= (e1, ... ,eN) . Pour tout y de E, il
N
exi ste (y 1, . . . ,JN ) E ocN unique tel que y = LYjej. Notons, pour chaque j de
.i= l
N
{1, ... ,N}, p 1 · : E-----+ OC ; on a ainsi: Vy E E, y=°" p 1 ·(y)e 1 · .
y t----+ Yj
~
Soit! E Ex; on note, pour chaque} de {1 , . .. , N},fj = Pj o f , etfj est appelée la
ime application composante (ou: coordonnée) def dans la base B. On a ainsi:
{
Vj E {l , . . . ,N}, fj: X-----+ OC
Vr EX, f(t) = t J;(r)e;
On se permet quelquefois de noter f = (f1 , . .. , f N) , ce qui revient à confondre E
(muni de la base B) et ocN (muni de la base canonique).
Ilestclairque,pourtousÀ E OC,f,g E Ex,} E {l, ... ,N}:
(Àf)j = Àfj. (f + g)j = fj + gj.
2.1.1 Trouver toutes les applications f : IR -----+ IC telles que :
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
2.1.2
..._,
.s::
Ol
·;::
>- o.
0
u
1 Rappel de notation : Ex désigne
\J..... l' ensemble des applications de X dans E.
V t E IR, f (1 - t) = 2j(t) + 3i.
Parité
Nous généralisons ici l'étude du § 4.1.3 d' Analyse MPSI.
Dans tout ce § 2.1.2, X désigne une partie de IR symétrique par rapport à 0, c'est-à-dire telle
que: Vt E X, -t EX.
Soit! E Ex.
l)Onditquefest paire sietseulementsi : Vt EX, f(-t) = f(t)
2) On dit quefest impaire si et seulement si: Vt EX, f(-t) = - f(t).
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