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Chapitre 4 • Fondements du calcul matriciel
Pour étudier les suites qui vérifient la relation de récurrence
2
on considère l’équation caractéristique :
,
qui admet deux racines réelles distinctes
et
.
La solution générale de l’équation de récurrence est
.
L’utilisation des conditions initiales donne :
On obtient donc :
puis
.
4.7 En remplaçant la ligne L 3 par L 3 + L 2 , la valeur du déterminant est
inchangée. On obtient ainsi :
La première ligne et la troisième ligne sont proportionnelles. Le
déterminant est donc nul.
4.8 On remarque d’abord que la somme des termes de chaque ligne
est constante. On peut donc penser à remplacer la colonne C 1 par
:
puis à mettre en facteur x dans la première colonne :
2
1
3
n
n
u
u
+
+
−
+
0
n
u =
2
3 2 0 ( 1)( 2)
r
r
r
r
− + = = −
−
1
1
r =
2
2
r =
1
2
1
2
n
n
n
u K
K
=
+
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
0
4
2
K
K
K
K
K
K
α
α
=
= = +
⇐
=
=
+
= −
{
{
⇔
1
2 2
n
n
α
−
= −
1
2
1
n
n
β
−
=
−
1
1
1
D
a
b
c
a b c a b c a b c
=
+ +
+ +
+ +
1
2
3
4
C C C C
+ + +
2 1
3
3 1
( )
3
2
1 2
x
x x
P x
x
x
x
x
−
−
=
−
1 2 1
3
1
3 1
( )
1 3
2
1 1 2
x
P x x
x
x
−
−
=
−