Solutions
93
Il est alors facile d’en déduire A
n avec
car :
si n est pair (
), alors
,
si n est impair (
), alors
.
4.5 On obtient
On en déduit
, puis
A est donc inversible et
4.6 On calcule successivement :
et on observe que
.
La relation annoncée est donc vérifiée : pour
avec
et
; pour
avec
et
et pour
avec
et
.
Pour
, supposons que
. On en déduit :
.
Les suites (α n ) et (β n ) sont donc bien définies par les valeurs initiales
déjà citées et les relations de récurrence :
On obtient un système analogue à un système différentiel que l’on
peut résoudre avec diverses méthodes (cf. chap. 5). Ici, nous allons
utiliser une méthode de substitution.
.
n ∈`
2
n
p
=
2
3
( )
n
p
A
A
I
=
=
2 1
n
p
=
+
2
3
( )
n
p
A
A A I A A
=
=
=
2
3
2 1 1
1 2 1
2
1 1 2
A
A I
=
= + .
( )
2
3
2
A A
I
− =
3
3
2
A I
A
I
−
= .
)
(
1
3
1 1 1
1 1
1 1
2
2
1 1
1
A I
A
−
−
−
=
=
−
.
−
)
(
2
3
2
2
2
4
6
4
0 1
0
0
1
0
2 4 2
4 8
4
A
A
− −
− −
=
=
−
−
(
)
(
)
3
2
2
3
A
A A
= − +
1
n =
1
1
α =
1
0
β =
2
n =
2
0
α =
2
1
β =
3
n =
3
2
α = −
3
3
β =
1
n ജ
2
n
n
n
A
A
A
α
β
=
+
(
)
1
2
3
2
2
2
3
n
n
n
n
n
n
A
AA
A
A
A
A A
α
β
α
β
+
=
=
+
=
+
− +
2
2
(
3 )
n
n
n
A
A
β
α
β
= −
+
+
1
1
2
et
3
n
n
n
n
n
α
β
β
α
β
+
+
= −
= +
.
1
2
1
1
2
2(
3 )
2
6
2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
α
α
β
α
β
α
α
α
+
+
+
+
= −
= −
+
= −
−
= −
+
−
( )