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Chapitre 4 • Fondements du calcul matriciel
Vous pouvez aussi utiliser un raisonnement par récurrence.
4.4 1. On a :
On peut calculer directement ce déterminant d’ordre 3 avec la règle
de Sarrus. On peut aussi commencer par simplifier son écriture avec
des transformations qui ne changent pas sa valeur.
Si on remplace C 1 par C 1 + C 2 + C 3 , le déterminant est inchangé.
Si on remplace C 2 par –C 2 et C 3 par –C 3 , le déterminant change deux
fois de signe, donc est inchangé. On a donc :
Comme le déterminant de A n’est pas nul, la matrice A est inversible.
2. On peut calculer A
–1 en résolvant un système, ce qui correspond à :
On obtient ainsi la matrice A
–1 et l’on s’aperçoit que A
–1 = A, ce qui
entraîne que A
2 = I 3 .
13 8 12
det
12
7 12
6
4
5
A
− −
=
− − .
−
−
1 8 12
det
0 7 12 35 96 84 48
1
1 4 5
A =
= + − − = − .
1
AX Y
X A Y
−
=
⇐ ⇔
=
1
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
13
8
12
12
7
12
6
4
5
x
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
−
−
=
−
−
=
−
−
=
{
1
1
2
3
1
2
3
2
1
2
3
3
13
8
12
5
12
12
13
4
7
6
13
x
x
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
−
−
=
⇐
−
=
−
{
⇔
–
–
=
+
1
1
2
3
1
2
3
2
1
3
2
3
13
8
12
5
12
12
13
13
78
52
65
x
x
x
y
x
x
y
y
x
y
y
y
−
−
=
⇐
=
−
−
{
⇔
=
–
–
+
1
1
2
3
1
2
2
3
1
3
2
3
13
8
12
12
7
12
6
4
5
x
y
y
y
x
y
y
y
x
y
y
y
=
−
−
⇐
=
−
−
{
⇔
–
–
=