Solutions
91
4. Quel est le taux d’accroissement annuel si aucune femelle ne se
reproduit à l’âge d’un an ?
SOLUTIONS
4.1 • Les matrices A et B ne sont pas de même format. Leur somme
est donc impossible.
• Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le
produit AB existe donc et on a :
• Le nombre de colonnes de B est égal au nombre de lignes de A. Le
produit BA existe donc et on a :
4.2 Si A est inversible, on a bien :
.
Mais il est possible d’avoir
et A non inversible, par exemple
. Si
et
on a alors
bien que
.
4.3 On peut décomposer :
et observer que
.
Comme
, on peut appliquer la formule du binôme, ce qui
donne pour
N
* :
Pour
, la formule est encore vraie.
6 32 4
2
5
3
5 13 15
AB
−
=
−
−
− −
)
(
10 13
6 14
BA
−
−
=
)
( –
1
1
( )
( )
AB AC
A AB A AC
B C
−
−
=
⇒
⇒
=
=
=
0
A ≠
1 0
0 0
A =
)
(
3 2
1 6
B =
)
(
3 2
4
5
C =
)
( –
3 2
0 0
AB AC
=
=
)
(
B C
≠
2
1 0
4 4
0 1
4 4
A
I B
−
=
+
= + ,
)
(
) –
2
0
B =
2
2
I B BI
=
n ∈
2
4 1
4
4
4 1
n
n
n
A I nB
n
n
+
−
= +
=
.
(
)
– +
0
n =
(