Exercices
89
4.8 On considère le déterminant
Utilisez les propriétés des déterminants pour obtenir P(x) sous la
forme d’un produit.
4.9 En utilisant les propriétés des déterminants, écrivez sous forme
d’un produit la valeur de :
Vous pouvez introduire les matrices colonnes :
4.10 La vie des insectes
Une certaine espèce d’insectes se comporte de la manière suivante.
En moyenne, la moitié d’entre eux meurent à la fin de la première
année de vie.
Parmi ceux qui survivent, les
meurent au bout de la deuxième
année de vie.
Ceux qui survivent encore meurent au bout de leur troisième année de
vie, mais auparavant chaque femelle donne naissance en moyenne à 6
individus femelles de la même espèce.
L’année 2008 + n (avec
), on note :
x n le nombre d’individus dans leur première année de vie,
y n le nombre d’individus dans leur deuxième année de vie,
z n le nombre d’individus dans leur troisième année de vie.
1. Déterminez la matrice carrée A telle que :
2 1
3
2
3 1
( )
1
3
2
3 1 2
x
x
P x
x
x
−
−
=
.
−
−
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
a b
b c
c a
D a b b
c c
a
a
b b
c c
a
+
+
+
=
+
+
+ .
+
+
+
2
2
2
3
3
3
a
b
c
A a
B b
C c
a
b
c
=
;
=
;
=
.
(
(
)
) ( )
2
3
n ∈`
1
1
1
n
n
n
n
n
n
x
x
y
A y
z
z
+
+
+
=
.
( ( )
)