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Chapitre 4 • Fondements du calcul matriciel
Peut-on effectuer les opérations : A + B ? AB ? BA ?
Si oui, calculez le résultat.
4.2 Si
, l’égalité
entraîne-t-elle
?
4.3 Soit
Calculez A
n pour
(vous pouvez utiliser
la formule du binôme, ou un raisonnement par récurrence).
4.4 On considère la matrice
1. Démontrez que A est inversible en calculant son déterminant.
2. Calculez A
–1
, puis A
n avec
.
4.5 Soit
Calculez A
2 et déduisez-en A
–1
.
4.6 Soit
.
Démontrez qu’il existe deux suites (α n ) et (β n ) (définies par récurrence) telles que :
Calculez ensuite les valeurs de α n et de β n .
4.7 Montrez, sans le développer, que le déterminant suivant est nul :
0
A ≠
AB AC
=
B C
=
5 4
4
3
A
−
=
.
( )
–
n ∈`
13 8 12
12
7 12
6
4
5
A
− −
=
− −
−
−
( )
n ∈`
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A =
.
( )
1 0 1
0 1 0
1 2 1
A
−
=
−
( )
2
1
n
n
n
n
A
A
A
α
β
∀
=
+
.
ജ
1
1
1
D
a
b
c
b c c a a b
=
.
+
+
+
Chapitre 4 • Fondements du calcul matriciel
Peut-on effectuer les opérations : A + B ? AB ? BA ?
Si oui, calculez le résultat.
4.2 Si
, l’égalité
entraîne-t-elle
?
4.3 Soit
Calculez A
n pour
(vous pouvez utiliser
la formule du binôme, ou un raisonnement par récurrence).
4.4 On considère la matrice
1. Démontrez que A est inversible en calculant son déterminant.
2. Calculez A
–1
, puis A
n avec
.
4.5 Soit
Calculez A
2 et déduisez-en A
–1
.
4.6 Soit
.
Démontrez qu’il existe deux suites (α n ) et (β n ) (définies par récurrence) telles que :
Calculez ensuite les valeurs de α n et de β n .
4.7 Montrez, sans le développer, que le déterminant suivant est nul :
0
A ≠
AB AC
=
B C
=
5 4
4
3
A
−
=
.
( )
–
n ∈`
13 8 12
12
7 12
6
4
5
A
− −
=
− −
−
−
( )
n ∈`
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A =
.
( )
1 0 1
0 1 0
1 2 1
A
−
=
−
( )
2
1
n
n
n
n
A
A
A
α
β
∀
=
+
.
ജ
1
1
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D
a
b
c
b c c a a b
=
.
+
+
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